Aula De Calculo

Números Reais
Os Números Reais é o conjunto de elementos, representado pela letra maiúscula R, que inclui os:
Números Naturais (N): N = {0, 1, 2, 3, 4, 5,...}
Números Inteiros (Z): Z= {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...}
Números Racionais (Q): Q = {...,1/2, 3/4, –5/4...}
Números Irracionais (I): I = {...,√2, √3,√7, 3,141592....}
Conjunto dos Números Reais
Para representar a união dos conjuntos, utiliza-se a expressão:
R = N U Z U Q U I ou R = Q U I
Onde:
R: Números Reais
N: Números Naturais
U: União
Z: Números Inteiros
Q: Números Racionais
I: Números Irracionais

Ao observar a figura acima, podemos concluir que:
O conjunto dos números Reais (R) engloba 4 conjuntos de números: Naturais (N), Inteiros (Z), Racionais (Q) e Irracionais (I)
O conjunto dos números Racionais (Q) é formado pelo conjuntos dos Números Naturais (N) e dos Números Inteiros (Z). Por isso, todo Número Inteiro (Z) é Racional (Q), ou seja, Z está contido em Q.
O Conjunto dos Números Inteiros (Z) inclui os Números Naturais (N); em outras palavras, todo número natural é um número inteiro, ou seja, N está contido em Z.
Propriedades do conjunto R dos números reais
Sejam a, b e c números reais. Então:
1) a + b ∈ Re ab ∈ R (fechamento)
2) a + b = b + a e a ⋅b = b ⋅a (comutativas)
3) a + (b + c) = (a + b) + c e a ⋅(b ⋅c) = (a ⋅b) ⋅c (associativas)
4) a ⋅(b + c) = a ⋅b + a ⋅c (distributiva)
5) 0 ∈ R e a + 0 = a (zero)
6) 1 ∈ Re 1 ⋅a = a (unidade)
7) 0 ⋅a = 0 (multiplicação por zero)
8) a ∈ R ⇒ -a ∈ Rinverso aditivo)
9) a ⋅b = 0 ⇒ a = 0 ou b = 0 (R não tem divisores de zero)
10) a ⋅(-b) = (-a) ⋅b = -a⋅b e (-a) ⋅(-b) = a ⋅b regra do sinal) 11) a ≠ 0 ⇒ a –1 ∈ R (inverso multiplicativo)
12) a, b ∈ R ⇒ a = b ou a < b ou b < a (tricotomia)
13) Se a, b, c ∈ R e a < b então a) a + c < b + c b) se c > 0 então a ⋅c < b ⋅c c) se c < 0 então a ⋅c > b ⋅c
14) Se a > 0 então existe n ∈ Z tal que n ⋅a > b (R é arquimediano)