Aula de calculo

Aula 1 Velocidade instant^nea e derivadas a
1.1 Velocidade instant^nea a

Um ponto m¶vel M desloca-se ao longo de uma linha reta horizontal, a partir de um o ponto O.
∆s s 0 = s(t 0) s1 = s(t 0+ ∆t) s

O s=0

M s = s(t)

O deslocamento s, de M , em rela»~o ao ponto O, ¶ a dist^ncia de O a M , se M ca e a est¶ µ direita de O, e ¶ o negativo dessa dist^ncia se M est¶ µ esquerda de O. Assim, s ¶ aa e a aa e positivo ou negativo, conforme M se encontre, respectivamente, µ direita ou µ esquerda a a de O. Com estas conven»~es, a reta passa a ser orientada, o que chamamos de eixo, co sendo O sua origem. O deslocamento s depende do instante de tempo t, ou seja, s ¶ uma fun»~o da e ca vari¶vel t: a s = s(t) Em um determinado instante t0 , o deslocamento de M ¶ s0 = s(t0 ). Em um e instante posterior t1 , o deslocamento de M ¶ s1 = s(t1 ). e A velocidade m¶dia do ponto M , no intervalo de tempo [t0 ; t1 ] ¶ dada por e e vm = s1 ¡ s0 s(t1 ) ¡ s(t0 ) = t1 ¡ t0 t1 ¡ t0

Podemos tamb¶m escrever t1 = t0 + ¢t, ou seja, ¢t = t1 ¡ t0 , e tamb¶m e e ¢s = s(t1 ) ¡ s(t0 ) = s(t0 + ¢t) ¡ s(t0 ). 1

Aula 14 Taxas relacionadas. Diferenciais
14.1 Taxas relacionadas

Na linguagem do c¶lculo diferencial, se uma vari¶vel u ¶ fun»~o da vari¶vel v, a taxa a a e ca a du de varia»~o (instant^nea) de u, em rela»~o a v, ¶ a derivada ca a ca e . dv Em v¶rias problemas de c¶lculo, duas ou mais grandezas vari¶veis est~o relaa a a a cionadas entre si por uma equa»~o. Por exemplo, na equa»~o v1 =v2 = (sen µ1 )=(sen µ2 ), ca ca temos quatro vari¶veis, v1 , v2 , µ1 e µ2 , relacionadas entre si. a Se temos vari¶veis, digamos u, v e w, relacionadas entre si por uma equa»~o, a ca podemos ainda ter as tr^s como fun»~es de uma unica vari¶vel s. Por deriva»~o impl¶ e co ¶ a ca ³cita, ou µs vezes, por deriva»~o em cadeia, podemos relacionar as v¶rias derivadas du , dv e a ca a ds ds dw du dv , ou ainda, por exemplo, dv , dw , etc. Problemas em que duas ou mais grandezas ds vari¶veis est~o