Aula 6 Notas de Aula

Aula 6 – Notas de Aula de G.A. e A.L. Profª Camila Gonçalves
1. Equação Geral das Cônicas (Cap. 21 – Boulos, §2)
Dado um plano 𝜋 e um sistema ortogonal de coordenadas, uma curva cônica é o conjunto de pontos (𝑥, 𝑦) que satisfazem:
𝐴𝑥 2 + 𝐵𝑥𝑦 + 𝐶𝑦 2 + 𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹 = 0

(1)

com 𝐴2 + 𝐵 2 + 𝐶 2 ≠ 0. A equação (1) é a equação geral das cônicas.
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Se 𝐵 2 − 4𝐴𝐶 < 0 trata-se de uma cônica em forma de elipse (elipse, circunferência, um ponto ou o vazio)
Se 𝐵 2 − 4𝐴𝐶 = 0 trata-se de um cônica em forma de parábola (parábola, reta, reunião de retas paralelas ou o vazio)
Se 𝐵 2 − 4𝐴𝐶 > 0 trata-se de um cônica em forma de hipérbole (hipérbole ou reunião de retas concorrentes)

Observação 1: Se não tivermos o termo 𝑥𝑦 na equação (1), podemos facilmente completar quadrados para tentar colocar na forma reduzida de uma das cônicas.
Observação 2: O plano 𝜋 mencionado na definição da equação geral das cônicas pode estar transladado e/ou rotacionado com relação ao nosso conhecido plano cartesiano.

Translação: Alteração da cônica quanto à origem do sistema de coordenadas.
Neste caso precisamos eliminar os termos de primeiro grau 𝑥 e 𝑦 na equação 1 fazendo uma mudança de variáveis:
𝑥 =ℎ+𝑢
𝑦 =𝑘+𝑣 onde 𝑂′ (ℎ, 𝑘) é a nova origem e 𝑂′ 𝑃 = (𝑢, 𝑣) um vetor que liga a nova origem 𝑂′ a um ponto 𝑃(𝑥, 𝑦) qualquer. Daí encontramos ℎ e 𝑘 da translação, fazendo com que os coeficientes de 𝑢 e 𝑣 sejam nulos. A equação (1) da cônica se torna na forma:
𝐴𝑢2 + 𝐵𝑢𝑣 + 𝐶𝑣 2 + 𝐹 = 0

Rotação: Alteração da cônica quanto ao ângulo dos eixos coordenados. Neste caso precisamos eliminar o termo misto de segundo grau 𝑢𝑣 na equação (2) fazendo a mudança de variáveis:
𝑥 = 𝑢 cos 𝜃 − 𝑣 sen 𝜃
𝑦 = 𝑢 sen 𝜃 + 𝑣 cos 𝜃
1

(2)

A equação (1) da cônica se torna na forma:
𝐴′ 𝑢2 + 𝐶 ′ 𝑣 2 + 𝐷′ 𝑢 + 𝐸 ′ 𝑣 + 𝐹 ′ = 0

(3)

onde:
𝐵
sen 2𝜃 + 𝐶 sen2 𝜃
2

𝐴′ = 𝐴 cos2 𝜃 +

𝐵 ′ = 𝐶 − 𝐴 sen 2𝜃 + 𝐵 cos(2𝜃) = 0
𝐶 ′ = 𝐴 sen2 𝜃 −

𝐵 sen(2𝜃) +