Aula 12 Irredutibilidade de polin mios

Polos Olímpicos de Treinamento
Aula

Curso de Álgebra - Nível 3

12

Prof. Cícero Thiago / Prof. Marcelo Mendes

Irredutibilidade de polinˆ omios. Continuaremos, neste artigo, trabalhando com polinˆ omios em Z[x]. Al´em disso,vamos dizer que um polinˆ omio com coeficientes inteiros P (x) ´e irredut´ıvel sobre Z se, e somente se, n˜ ao for poss´ıvel escrever P (x) como produto de dois polinˆ omios (n˜ ao constantes) com coeficientes inteiros. Vamos come¸car com um problema de motiva¸c˜ao!!
Problema 1. Prove que o polinˆ omio (x − a1 )(x − a2 ) . . . (x − an ) − 1, em que a1 , a2 , . . ., an s˜ ao inteiros distintos, n˜ ao pode ser escrito como produto de dois polinˆ omios n˜ ao constantes com coeficientes inteiros, ou seja, ´e irredut´ıvel.
Solu¸c˜
ao.
Suponha, por contradi¸c˜ ao, que f (x) = (x − a1 )(x − a2 ) . . . (x − an ) − 1 = p(x)q(x), em que p(x) e q(x) s˜ ao polinˆ omios com coeficientes inteiros com grau menor que n. Ent˜ao g(x) = p(x) + q(x)
´e um polinˆ omio com coeficientes inteiros com grau menor que n. Ent˜ao p(ai )q(ai ) = f (ai ) = −1 e ambos p(ai ) e q(ai ) s˜ ao inteiros,
|p(ai )| = |q(ai )| = 1 e p(ai ) + q(ai ) = 0.

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POT 2012 - Algebra
- N´ıvel 3 - Aula 12 - Prof. C´ıcero Thiago/ Prof. Marcelo
Mendes
Assim, g(x) possui pelo menos n ra´ızes. Mas o grau g < n, ent˜ao g(x) ≡ 0. Ent˜ao p(x) = −q(x) e f (x) = −p(x)2 , implicando que o coeficiente l´ıder de f (x) ´e um n´ umero negativo, o que ´e imposs´ıvel, pois o polinˆ omio ´e mˆ onico. Teorema 1. (Crit´erio de Einsenstein) Seja P (x) = an xn + an−1 xn−1 + . . . + a1 x + a0 um polinˆ omio com coeficientes inteiros ai e seja p um n´ umero primo que satisfaz as seguintes condi¸c˜oes (i) p n˜ ao divide an ;
(ii) p divide a0 , a1 , . . . , an−1 ;
(iii) p2 n˜ ao divide a0 .
Ent˜ao P (x) ´e irredut´ıvel sobre Z.
Demonstra¸c˜
ao. Suponha, por absurdo, que existem polinˆ omios n˜ ao constantes F (x) e
G(x) com coeficientes inteiros tais que P (x) = F (x)G(x). Logo,
P (x) = an xn + . . . + a1 x + a0
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