Álgebra 2

´
Aula 10 - Algebra II
Teorema. [Factoriza¸˜o unica em C[x]] ca ´
Todo o polin´mio r(x) ∈ C[x] de grau positivo pode ser escrito na forma o r(x) = cp1 (x)n1 p2 (x)n2 · · · pt (x)nt

(1)

onde c ∈ C \ {0}, p1 (x), p2 (x), . . . , pt (x) s˜o polim´nios m´nicos irredut´ a o o ıveis em
C[x], todos distintos, e n1 , n2 , . . . , nt ∈ N.
E mais: esta factoriza¸˜o ´ unica a menos da ordem pela qual se escrevem os ca e ´ factores. Demonstra¸˜o. ca Comecemos por demonstrar a existˆncia da factoriza¸˜o, por e ca indu¸ao sobre n = gr(r(x)). c˜ O caso n = 1 ´ evidente: r(x) sendo de grau 1 ´ irredut´ e e ıvel. Seja c o coeficiente do termo de grau 1. Ent˜o r(x) = c(c−1 r(x)), onde c−1 r(x) ´ um polin´mio m´nico a e o o irredut´ ıvel.
Suponhamos, por hip´tese de indu¸ao, que o resultado ´ v´lido para todos os o c˜ e a polin´mios n˜o constantes de grau < n. Seja r(x) um polin´mio de grau n. Se r(x) o a o ´ irredut´ nada h´ a provar (basta considerar a factoriza¸ao can´nica como no e ıvel a c˜ o caso n = 1). Se r(x) ´ redut´ ent˜o r(x) = r1 (x)r2 (x), onde 1 ≤ gr(r1 (x)) < n e ıvel a e 1 ≤ gr(r2 (x)) < n. Por hip´tese de indu¸ao, r1 (x) e r2 (x) podem ser factorizados o c˜ na forma (1), logo r(x) tamb´m. e Quanto ` unicidade da factoriza¸˜o, sejam a ca cp1 (x)n1 p2 (x)n2 · · · pt (x)nt = dq1 (x)m1 q2 (x)m2 · · · qk (x)mk duas factoriza¸˜es can´nicas de r(x). No polin´mio da esquerda, c ´ o coeficiente co o o e do termo de maior grau, enquanto que no da direita esse coeficiente ´ d. Portanto e c = d. Daqui segue imediatamente que p1 (x)n1 p2 (x)n2 · · · pt (x)nt = q1 (x)m1 q2 (x)m2 · · · qk (x)mk .

(2)

ca
Ent˜o p1 (x) | q1 (x)m1 q2 (x)m2 · · · qk (x)mk donde, pela Proposi¸˜o 2 da aula antea rior, p1 (x) | qi (x) para algum i ∈ {1, 2, . . . , k}. Como qi (x) ´ irredut´ e ıvel, ent˜o a qi (x) = ap1 (x) o que implica a = 1 (pois quer qi (x) quer p1 (x) s˜o m´nicos), ou a o seja qi (x) = p1 (x). Ent˜o