Aula 10 M Ximos E M Nimos

Polos Olímpicos de Treinamento
Aula

Curso de Álgebra - Nível 2
Prof. Marcelo Mendes

10

Problemas Envolvendo M´ aximos e M´ınimos
Vamos iniciar esta aula aplicando desigualdades aprendidas nas u
´ltimas duas aulas focando mais em exemplos envolvendo m´ aximos e m´ınimos de fun¸c˜oes.
Problema 1. Determine o valor m´ aximo da fun¸c˜ao f (x) = x(1 − x)3 , sendo x ∈ (0; 1).
Solu¸c˜
ao. A ideia da solu¸c˜ ao desse problema j´a foi aprendida na aula 8. Vamos rever como resolvˆe-lo e, mais uma vez, chamar a aten¸c˜ao para a diferen¸ca existente entre obter f (x) ≤ k e garantir que k ´e o valor m´ aximo de f .
Atrav´es da desigualdade entre as m´edias aritm´etica e geom´etrica, j´a que x e 1 − x s˜ ao positivos, obtemos
3x + (1 − x) + (1 − x) + (1 − x)
≥
4
⇔

3
4

4

3x(1 − x)3

4

≥ 3x(1 − x)3

27
.
256
27
Nesse momento, a expectativa ´ obvia ´e de que deva, de fato, ser o valor m´ aximo de
256
f , mas ainda precisamos garantir esse fato.
⇔ x(1 − x)3 ≤

E como conseguiremos essa garantia? Da mesma forma que procedemos na aula 8.
27
Mostrar que o m´ aximo de f ´e
´e equivalente a achar um valor de x ∈ (0; 1) que dˆe a
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igualdade na desigualdade, e isso ocorre (gra¸cas `a condi¸c˜ao de igualdade em MA ≥ MG)
1
quando 3x = 1 − x ⇔ x = , que ´e um valor no intervalo (0; 1).
4
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Portanto,
realmente ´e o valor m´ aximo de f .
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´
POT 2012 - Algebra
- N´ıvel 2 - Aula 10 - Prof. Marcelo Mendes
Problema 2. Determine o valor m´ aximo da fun¸c˜ao f (x) = x4 (2 − x), sendo x ∈ (0; 2).
Problema 3. Seja a um n´ umero real positivo dado. Determine o valor de x ∈ [0; a] que maximiza o valor de f (x) = x5 (a − x).
Problema 4. Seja x > 0, x ∈ R. Determine o valor m´ınimo de x2 +

2
.
x

Problema 5. (EUA) Considere a equa¸c˜ao 3x2 − 4x + k = 0 com ra´ızes reais. Determine o valor de k para o qual o produto das ra´ızes da equa¸c˜ao seja m´ aximo. Problema 6. Se x, y, z s˜ ao reais e satisfazem x + y + z = 5 e yz + zx + xy = 3, prove que
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−1 ≤ z ≤ e determine o valor m´ınimo de z.