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Propriedade Hereditária
O princípio de indução finita tem como universo o conjunto dos naturais
N = {1, 2, 3, ..., n,...} e incide sobre propriedades ou condições dependentes da variável natural, n. Por exemplo: "n é par", "10n é múltiplo de 7" ou "3n +1 > 17". Ou seja, sobre expressões proposicionais, que quando concretizadas por valores de n, podem originar proposições falsas ou verdadeiras.
Comecemos por observar que por meio da operação elementar de adicionar uma unidade, temos a possibilidade de passar de um número natural, n para o número natural seguinte n + 1, a que chamaremos o sucessor de n.
Uma propriedade ou condição, P(n) , de variável natural, dir-se-á hereditária sempre que sendo uma proposição verdadeira para um qualquer natural, n, é também verdadeira para o seu sucessor, n + 1.
Por exemplo, condição "n é par" não é hereditária, já que se um determinado número n é par, então o seu sucessor, n + 1, será certamente um número ímpar.
No entanto, "10n é múltiplo de 7" é uma propriedade hereditária. De facto, admitamos que
10n é múltiplo de 7, isto é, que existe um número natural a tal que
10n = 7a.
Nesta situação então também 10n+1 é múltiplo de 7 visto que
10n+1 = (10n ) 10 = (7a) 10 = 7 (10a).
Podemos descortinar alguma semelhança desta "hereditariedade matemática" com a hereditariedade genética, regulada pelas conhecidas leis de Mendel. Aqui se estabelece que certas características genéticas como ter "grupo sanguíneo A" se pode transmitir nos humanos de pai para filho, ou talvez melhor, de um indivíduo para os seus descendentes ou sucessores.

Propriedade Indutiva

Através da argumentação usada anteriormente relativa a "10n é múltiplo de 7", também podemos estabelecer que é hereditária a propriedade "10n é múltiplo de 5". Porém, há uma diferença entre as duas: é que enquanto esta é verificada para todos os números naturais, a primeira é uma condição impossível, já que nenhuma potência de 10 é múltipla de 7.
Parece estranho este