Areas E Aplicacoes Em Geometria

Áreas e Aplicações em Geometria
Davi Lopes – Olimpíada Brasileira de Matemática
18ª Semana Olímpica – São José do Rio Preto, SP
1. Introdução
Nesse breve material, veremos uma rápida revisão sobre áreas das principais figuras planas, mas também exploraremos como as áreas podem nos ajudar em outros assuntos da geometria, como calcular e usar proporções entre segmentos, demonstrar o teorema de Pitágoras e mais ainda: usaremos tudo isso para encontrar uma fórmula que dá a área de um triângulo sabendo apenas as medidas de seus lados! Tá empolgado, amigo leitor?
Não perca tempo e embarque nessa aventura pela geometria plana!

2. Fórmulas Famosas de Áreas
Vejamos inicialmente como se calcular áreas de algumas figuras notáveis. Não colocaremos a demonstração de cada uma delas aqui, mas você pode encontra-las facilmente na internet ou no livro do Matemática Elementar de geometria plana. Aqui, as letras B representarão as bases, a letra H representará a altura, a letra D, diagonal, e a letra S representará a área.
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Área do Quadrado, Retângulo e Paralelogramo

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Área do Triângulo

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Área do Losango

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Área do Trapézio

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Área do Círculo

3. Áreas e Proporções entre Segmentos
Um dos fatos mais simples, e ao mesmo tempo mais legais, sobre áreas é que, dadas duas figuras que são semelhantes, de razão ݇, a proporção entre suas áreas é igual a ݇².
Assim, por exemplo, se um triângulo é o triplo do outro, sua área será nove vezes a área do outro.

Entretanto, será que essa é a única relação que podemos estabelecer entre figuras diferentes que compartilham algo em comum? Claro que não! Para exemplificar, vamos mostrar como se relacionam as áreas de triângulos que compartilham uma altura comum ou uma base comum.
No caso em que dois triângulos compartilham uma altura ℎ em comum (Figura 1), temos que se o primeiro triângulo possui base ܾଵ e o segundo triângulo possui base ܾଶ :
ܾଵ . ℎ
ܾଵ
= 2 =
= ܴܽ‫ݖ‬ã‫ݏ݁ݏܾܽ ݏܽ ݁ݎݐ݊݁ ݋‬
Á‫ܽ݁ݎ‬ሺΔଶ ሻ ܾଶ . ℎ ܾଶ
2
Á‫ܽ݁ݎ‬ሺΔଵ ሻ

Já no caso em que dois