Apostila Binômio de Newton

BINÔMIO DE NEWTON

Fatorial

O fatorial de um número n (n pertence ao conjunto dos números naturais) é sempre o produto de todos os seus antecessores, incluindo si próprio e excluindo o zero. A representação é feita pelo número fatorial seguido do sinal de exclamação, n! . Exemplo de número fatorial:
6! = 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 720
Importante: n >= 0 (n maior ou igual a zero) , ou seja, não existe fatorial para números negativos.
* O fatorial de 0 ( 0! ) é 1, pois o produto de número nenhum é 1.
O numero fatorial pode ser modificado para outras formas: n! = n . (n-1) . (n-2) . (n-3)!
6! = 120 . 6 = 720
Divisão de fatoriais
A divisão de fatoriais acontece bastante em análise combinatória. Observe:

Números Binomiais
A notação comumente usada para indicar um número binomial é que é se lê n sobre p.
Definição Sejam dois números inteiros n e p tais que .Chama-se número binomial , de numerador n e classe p , o número dado por ( os números binomiais são números de combinações simples).
Essa fórmla é válida também quando o denominador é nulo : e

Exemplos:
a) ,
b)
Números binomiais são complementares
Dois números binomiais são complementares se apresentam o mesmo numerador e se a soma de suas classes for igual a esse numerador.

a) Exemplos:

Podemos demonstrar que dois binomiais complementares são iguais. Assim:
Por exemplo, observe os seguintes binomiais complementares

dados no exemplo “a” :

Triângulo de Pascal
A disposição ordenada dos números binomiais, como na tabela ao lado, recebe o nome de Triângulo de Pascal

Nesta tabela triangular, os números binomiais com o mesmo numerador são escritos na mesma linha e os de mesmo denominador, na mesma coluna. Por exemplo, os números binomiais , , e estão na linha 3 e os números binomiais , , , , ..., , ... estão na coluna 1. Substituindo cada número binomial pelo seu respectivo valor, temos:

Observe que até aqui: