Análise Combinatória

Matemática Específica
Aula – 39
Análise Combinatória
FATORIAL

Esses problemas ilustram os dois princípios fundamentais de contagem: o princípio aditivo e o princípio multiplicativo. Sendo n  ℕ, chama-se fatorial de n o número representado por n!, assim definido:

Generalizando:
Sendo A um conjunto com m elementos e B um conjunto com p elementos, A e B disjuntos, valem os seguintes princípios:

0! = 1
1! = 1 n! = n . (n – 1) . (n – 2) . ... . 3 . 2 . 1, para n > 1.


Observação:


O fatorial apresenta a seguinte propriedade, muito útil na simplificação de determinadas expressões:

ARRANJOS SIMPLES

n! = n . (n – 1)! ( n  1)

Dado um conjunto A com n elementos, chamamos de arranjos simples dos n elementos, tomados p a p, cada um dos agrupamentos ordenados que podem ser formados contendo, sem repetição, p elementos de A.
O número de arranjos simples pode ser obtido pelo princípio multiplicativo de contagem ou pela fórmula:

PRINCÍPIOS FUNDAMENTAIS DE CONTAGEM
O cálculo combinatório baseia-se em dois princípios fundamentais, que estudaremos a seguir.
Considere, por exemplo, uma lanchonete onde são vendidos três tipos de sanduíches e dois tipos de doces.

b)

de quantas maneiras distintas uma pessoa poderá escolher uma dessas comidas? quantas são as opções para quem vai comer um sanduíche e um doce?

em que n  ℕ, p  ℕ e n  p.
PERMUTAÇÕES SIMPLES
Permutações simples de n elementos são os arranjos simples desses n elementos tomados n a n.

Indicaremos por D = {d1, d2} o “conjunto dos doces” e por S = {s1, s2, s3} o “conjunto dos sanduíches”.

Logo: Pn = A n = n Notamos que:

a)

b)

n!
(n  p)!

A p  A n,p  n Vamos responder às perguntas:

a)

Aditivo: Para a escolha de um elemento de A ou um elemento de B existem m + p possibilidades.
Multiplicativo: Para a escolha de um elemento de A e um elemento de B existem m.p possibilidades.

Escolher uma comida significa escolher um