Andre

Derivadas

1) Um canal de drenagem deve ser feito de tal forma que a seção transversal é um trapézio com os dois lados igualmente inclinados, conforme figura abaixo. Se os lados e as bases, todos, tiverem um comprimento de 5 m, como escolher o ângulo  (entre 0 e /2), de forma que a área da seção transversal seja máxima? Resposta: /3.

Integrais

A) Resolver as integrais e, em seguida, conferir o resultado calculando as derivadas:

a) b) c)

d) e) f)

g) h) i)

j) k) l)

m) n) o)

p) q) r)

s) t) u)

v) w) x)

y) z)

B) Problemas com aplicações de integrais

2) Calcular a área da região delimitada pelo gráfico da função y = x2, pelas abscissas x = 2 , x = 5 e o eixo x. Resposta: 39.

3) Traçar o gráfico da função y = (x – 1)(x – 3). Em seguida, determinar a área da região delimitada pelo gráfico da função acima e y = 0 entre x = 0 e x = 5. Resposta: 28/3.

4) Calcular a área sombreada nas figura abaixo. Resposta: 5/12.

5) Suponha que uma barra de metal uniforme tem 50 cm de comprimento e está isolada lateralmente, enquanto que as temperaturas nos extremos são mantidas a 25 °C e 85 °C, respectivamente. Suponha que o eixo x é escolhido conforme a figura a seguir e que a temperatura T(x) em cada ponto x satisfaz a equação . Ache T(x) para . Resp.: T = 1,2 x + 25.

6) Achar a equação da curva que satisfaz as condições dadas a seguir:

a. Em cada ponto (x; y) da curva, a inclinação é ; a curva passa pelo ponto (-3; 0). Resp.: y = x2 + x – 6.
b. Em cada ponto (x; y) da curva, y satisfaz a condição ; a reta é tangente à curva no ponto onde x = 1. Resp.: y = x3 - 6x + 7.

c. Determinar a curva que passa pelo ponto (1; 1), e cujo gradiente em qualquer ponto (x; y) é 3x2. Resp.: y = x3.

d. Determinar a curva que passa pelo ponto (1; -1), e cujo gradiente em qualquer ponto (x; y) é 3x2 + 1. Resp.: y = x3 + x – 3.

e.