Analise

Análise – Nível U
Prof. Rodrigo Villard – Rio de Janeiro
Colégio Ponto de Ensino

1-Teorema de Stone-Weierstrass
“Considere uma função contínua. Dado , existe um polinômio P tal que , para todo ”.

2-Teorema de Baire
“Toda união enumerável de conjuntos abertos densos em é aberto e denso em ” ou de forma equivalente “Toda interseção enumerável de conjuntos fechados de interior vazio em possui interior vazio em ”.

Exercícios

1) Seja uma função contínua. Mostre que .
2) (IMC) Seja uma função contínua e seja uma seqüência de funções definidas por e . Determine para todo .
3) Prove ou disprove: O conjunto dos racionais pode ser escrito como interseção enumerável de conjuntos abertos em .
4) (IMC) Seja A um conjunto fechado de e B o conjunto de todos os pontos para os quais existe exatamente um ponto tal que .
5) Seja . Suponha que seja contínua para todo y e que seja contínua para todo x. Prove que se f leva compactos em compactos, então f é contínua.

Exercícios de Cálculo

1) Seja f uma função real contínua não-negativa definida em [0,1], tal que , para todo . Mostre que , para .
2) Seja f(x) uma função definida para , satisfazendo f(1)=1 e . Prove que existe e é menor que .
3) (IMC)Existe uma função continuamente diferenciável tal que para todo x real se tem f(x)>0 e f’(x)=f(f(x)) ?
4) (IMC) Seja uma função contínua e seja . Defina e , para Suponha que o conjunto é fechado, isto é, se então existe tal que para todo se tem . Mostre que possui um número finitos de elementos.
5) Para a > b > 0, calcule .