Analise comb

COLÉGIO PEDRO II - CAMPUS SÃO CRISTÓVÃO III
2ª SÉRIE – MATEMÁTICA II – PROFESSOR WALTER TADEU www.professorwaltertadeu.mat.br

Análise Combinatória – 2012 - GABARITO

1. Calcule quantos múltiplos de 3, de 4 algarismos distintos, podem ser formados com 2,3,4,6 e 9 (Um número é divisível por 3 quando a soma dos seus algarismos é um número divisível por 3).

Solução. Precisamos selecionar quatro algarismos cuja soma seja múltiplo de 3:
- soma 21: {2,4,6,9}: 4 x 3 x 2 x 1 = 24 números distintos.
- soma 18: {2,3,4,9}: 4 x 3 x 2 x 1 = 24 números distintos.
- soma 15: {2,3,4,6): 4 x 3 x 2 x 1 = 24 números distintos.

Logo, há no total 24 + 24 + 24 = 72 números possíveis.

2. Seis times de futebol, entre os quais estão A e B, vão disputar um campeonato. Suponha que na classificação final não existam empates. Um indivíduo fez duas apostas sobre a classificação final. Na primeira, apostou que A não seria campeão; na segunda, apostou que B não seria o último colocado. Em quantas das 720 classificações possíveis esse indivíduo ganha as duas apostas?

Solução. Para que ganhe as duas apostas, as duas situações devem ocorrer. Uma forma de pensar é calcular as situações ocorrendo e subtrair do total. Isto é trabalhamos com o complementar:

i) A é campeão: fixamos A na 1º colocação: A _ _ _ _ _ Há 5! = 120 possibilidades para o restante. Repare que B pode em alguma delas ocupar a última posição.

ii) B é o último: fixamos B na 6ª colocação: _ _ _ _ _ B Há também 5! = 120 possibilidades. Repare que A pode ocupar a 1º posição em algumas das possibilidades.

iii) A campeão e B o último: A _ _ _ _ B Há 4! = 24 possibilidades. Essa situação é a interseção dos dois casos anteriores.
Logo, o número de possibilidades de ganha na aposta é: 720 – (120 + 120 – 24) = 720 – 216 = 504 possibilidades.

3. Dos 33 alunos da M37, seis serão escolhidos para participar de um debate em uma mesa circular. Antônio, Felipe, Camila e Milena