Algebra

Curso de Álgebra Linear
Abrangência: Graduação em Engenharia e Matemática -
Professor Responsável: Anastassios H. Kambourakis
Exercícios de Álgebra Linear - Lista 04 – Sistema de Geradores, Base e Dimensão

1. Seja o Subespaço vetorial do IR3 S =[(1,0,3), (-1,1,-3)].
Verificar, justificando se u=(1,2,3) ∈ S.
Um vetor pertencerá a S, se esse for combinação linear de seus vetores.
(1,2,3)=a(1,0,3)+b(-1,1,-3)
(1,2,3)=(a,0,3a)+(-b,b,-3b)
(1,2,3)=(a-b , b , 3a-3b)

a-b=1 a-2=1  a=1+2  a=3 b=2
3a-3b=3

Assim u=(1,2,3)=3(1,0,3)+2(-1,1,-3), u ∈ S. 2. Seja o Subespaço vetorial do IR3S =[(1,0,-1), (1,1,1)].
Verificar, justificando se u=(-1,1,1) ∈ S.
Um vetor pertencerá a S, se esse for combinação linear de seus vetores.
(-1,1,1)=a(1,0,-1)+b(1,1,1)
(-1,1,1)=(a,0,-a)+(b,b,b)
(-1,1,1)=(a+b , b , -a+b)

a+b=-1  a+1=-1  a=-1-1  a=-2 b=1
-a+b=1  -a+1=1  a=0

a≠a, portanto u  S, pois não é C.L. de seus vetores.

3. Seja o Subespaço Vetorial do IR2 S =[(1,-1), (0,1), (3 ,-3)].
Verificar, justificando se v=(4,5) ∈ S.
Um vetor pertencerá a S, se esse for combinação linear de seus vetores.
(4,5)=a(1,-1)+b(0,1)+c(3,-3)
(4,5)=(a,-a)+(0,b)+(3c,-3c)
(4,5)=(a+3c , -a+b-3c)

a+3c=4  a=4-3c
-a+b-3c=5  -(4-3c)+b-3c=5  4+3c+b-3c=5  b=1

Sistema Indeterminado, podemos ter varios resultados, portanto v pode ser obtido como C.L de S, v ∈ S.

4. Seja o Subespaço Vetorial do IR3 S =[(1, 0, 1), (1, 2,-1), (-3, 1,-4)].
Verificar, justificando se v=(1, 1, 0) ∈ S.
Um vetor pertencerá a S, se esse for combinação linear de seus vetores.
(1,1,0)=a(1,0,1)+b(1,2,-1)+c(-3,1,-4)
(1,1,0)=(a,0,a)+(b,2b,-b)+(-3c,c,-4c)
(1,1,0)=(a+b-3c , 2b+3c , a-b-4c) a+b-3c=1 a+b-3c=1 2b+3c=1 trocar L3 por –L1+L3  2b+c=1 trocar L3 por L2+L3 a-b-4c=0 -2b-c=-1 a+b-3c=1 S.I, portanto v  S, pois não