Algebra

FICHA N.º4
PROBLEMA 1. Calcule os seguintes determinantes
1 −1
2 −2

i)

1

2

1

ii) 3 − 1 2
2 1 −3

PROBLEMA 2. Verifique que
0

i) 0 a31 0

a22

a23 = − a13 a22 a31

a32

a33

ii)

0

0

a14

0

0

a23

a24

0

a32

a33

a34

a41

0 a13

a42

a43

a44

= a14 a23 a32 a41

PROBLEMA 3. Calcule os seguintes determinantes e diga quais são as matrizes singulares: i)

1 2 cos θ ii) 3 4 sin θ

0
− sin θ
1
iii) 5 3 0 iv) cos θ
0
−5 1 2
0
−2 0 1

1
0
1
0

0
1
0
1

0
0
1
0

PROBLEMA 4. Que condições devem os parâmetros a,b e c verificar para que a matriz ⎡1 a a 2 ⎤
⎢
2 ⎥
⎢1 b b ⎥
⎢1 c c 2 ⎥
⎣
⎦

seja invertível?
PROBLEMA 5. Determine todos os valores do escalar λ para os quais a matriz A-λI é singular, onde A é dada por:
⎡0 3 ⎤
i) ⎢
⎥
⎣ 2 − 1⎦

2⎤
⎡1 0
⎢0 − 1 − 2⎥ ii) ⎢
⎥
⎢2 − 2 0 ⎥
⎣
⎦

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PROBLEMA 6. Em cada caso, ou mostre que a afirmação é verdadeira ou dê exemplo mostrando que ela é fala.Ao longo do exercicio, A e B representam matrizes.

PROBLEMA 7. Seja
⎡1 0 0 ⎤
A = ⎢ 4 5 6⎥
⎢
⎥
⎢
⎣7 8 9 ⎥
⎦

Determine a entrada (2,3) da matriz inversa A-1.
PROBLEMA 8. Seja
⎡ −1 0
⎢4 0
A=⎢
⎢0 1
⎢
⎣ 0 −1

0
2⎤
1 0⎥
⎥
0 − 3⎥
⎥
2 2⎦

Determine a entrada (2,3) da matriz inversa A-1.

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PROBLEMA 9. Use a regra de Cramer para calcular as soluções dos sistemas
⎧2 x + y = 8
⎧x + y = 1
⎪
⎪ ii) ⎨− x + 2 y + 4 z = 7 iii) ⎨2 x + z = 1
⎪ x + 2 y + 2 z = −1
⎪− x + z = 1
⎩
⎩

⎧2 x + 3 y = 1
i) ⎨
⎩5 x + 7 y = 3

⎧2 x − 3 y + 7 z = 1
⎪
iv) ⎨ x + 3 z = 5
⎪2 y − z = 0
⎩

⎧2 x + y − 3 z = 5
⎪
v) ⎨3 x − 2 y + 2 z = 5
⎪
⎩5 x − 3 y − z = 16

⎡1 0 1 ⎤
PROBLEMA10 . Seja C = ⎢ 2 3 2 ⎥ . Verifique que C é invertível e calcule:
⎢
⎥
⎢0 1 − 2⎥
⎣
⎦

(

i) det ( 2C −1 ) ii) det C 3 ( 2C )

−1

)

(

iii) det ( C T ( tr C ) C )

−1

)

PROBLEMA 11. Se det(A)=-3, encontre:

i) det