algebra linear

Álgebra Linear - Exercícios
(Transformações Lineares)

Índice
1 Transformações Lineares

3

2

1 Transformações Lineares

1

Transformações Lineares

Exercício 1 Mostre que as transformações lineares de R3 em R3 ,
T1 (x, y, z) = (0, y, z) e T2 (x, y, z) = (0, z + y, z + 2y)
... têm os mesmos núcleos e contradomínios.
Solução
• Tranformação T1

Consideremos a base canónica de R3 :

{e1 = (1, 0, 0) , e2 = (0, 1, 0) , e3 = (0, 0, 1)}
Determinemos a matriz da transformação:

 T1 (e1 ) = T1 (1, 0, 0) = (0, 0, 0) = 0 · e1 + 0 · e2 + 0 · e3
T1 (e2 ) = T1 (0, 1, 0) = (0, 1, 0) = 0 · e1 + 1 · e2 + 0 · e3

T1 (e3 ) = T1 (0, 0, 1) = (0, 0, 1) = 0 · e1 + 0 · e2 + 1 · e3

A matriz da transformação, A1 , será uma matriz do tipo 3×3 cujas colunas são as coordenadas de T1 (ei ) na base {ei }:

0 0 0
A1 =  0 1 0 
0 0 1


O núcleo da transformação é dado pelo conjunto:
©
ª
N uc (T1 ) = v ∈ R3 : T1 (v) = 0

Determinar o núcleo consiste em resolver o sistema de equações A1 v = 0 nas variáveis v. Dado que rA1 = 2 < 3 o sistema é possível e indeterminado com grau de indeterminação 1, e a solução é da forma:

 
  v1 v1
1
 v2  =  0  = v1  0  , v1 ∈ R
0
0 v3 

3

1 Transformações Lineares
¡ ¢
O contradomínio, ou imagem, de T1 , denotado por Im (T1 )ªou T1 R3 é
©
dado pelo conjunto Im (T1 ) = w ∈ R3 : T1 (v) = w, ∀v∈R3 . Temos assim que analisar a forma dos vectores A1 v. Note-se que A1 v consiste na combinação linear das colunas de A1 :





0
0
0
A1 v = v1  0  + v2  1  + v2  0 
0
0
1



 
0
0
É evidente que apenas  1  e  0  são linearmente independentes,
1
0 pelo que, não esquecendo que estamos a tentar descobrir a forma de w, se terá com vector genérico de Im (T1 ):



 
  w1 0
0
 w2  = v2  1  + v3  0  , v2 , v3 ∈ R
0
1 w3 

• Tranformação T2

Consideremos a base canónica de R3 :

{e1 = (1, 0, 0) , e2 = (0, 1, 0) , e3 = (0, 0,