Algarismo significativo

Regra da Cadeia
Postado em 27 de setembro de 2011 em Cálculo|Seja o primeiro a comentar | 252 views
A Regra da Cadeia deve ser utilizada quando queremos calcular a derivada de uma função composta. Para sua correta utilização, é necessário que você possa identificar corretamente quais são as funções que estão dentro das outras.
Por exemplo: vamos calcular a derivada de (x² – 2)³.
A primeira coisa que temos de fazer é observar a função e identificar quem é a composta de quem. No caso acima, podemos perceber que eu primeiro elevo x ao quadrado e somo 1 e, depois, elevo esse resultado ao cubo. Logo, podemos concluir que, neste caso, temos duas funções: f(x) = x² + 1 e g(x) = x³.
De acordo com a Regra da Cadeia, eu posso calcular a derivada de cada uma dessas funções separadamente e, então, multiplicá-las para obter a derivada desejada.
Ao utilizar a regra, é sempre bom fazer um diagrama com setas e chamar a primeira função de alguma outra letra, como por exempl0 u, o que ajuda no entendimento. Vejamos como ficaria o exemplo acima: x -> x² + 1 = u -> u³ = y
Através dessa cadeia de funções – e é daí que vem o nome da regra – podemos entender de maneira simples e clara como nossa função é formada. Vamos, agora, calcular separadamente a derivada de cada uma de suas partes.
Começamos com a derivada de u³. Por ser uma função potência, du/dx = 3u², sendo que u = x² + 1, logo du/dx = 3(x² + 1)².
Agora, vamos analisar a derivada de x² + 1. Caímos no caso de a derivada da soma ser a soma das derivadas. Neste caso, a derivada de x² é 2x e a de 1, por ser uma constante, é 0, logo a derivada de x² + 1 é 2x.
Para terminar, simplesmente devemos multiplicar as duas derivadas encontradas,ou seja, 3u² . 2x = 3(x² + 1)³ . 2x = 6x(x² + 1)².
Essa técnica é muito útil quando queremos calcular a derivada de funções com expoentes e valores muito grandes ou que exigiriam, de outra forma, a realização de cálculos muito complexos e extensos.