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MTM5801 - H-C´lculo I - 2011/01 a Prof. Gilles Gon¸alves de Castro c

Tabelas-verdade
(Com aplica¸oes para opera¸˜es em conjuntos) c˜ co
Apresentamos alguns elementos da l´gica matem´tica (ver por exemplo o a [1] e [2]) e como utilizar tais elementos para fazer algumas demonstra¸˜es co com teoria de conjuntos (ver por exemplo [3]). Defini¸˜o 1 Uma proposi¸˜o ´ um conjunto de palavras ou s´mbolos que ca ca e ı exprimem um pensamento de sentido completo. Defini¸˜o 2 Uma proposi¸˜o simples ´ aquela que n˜o cont´m outra proca ca e a e posi¸˜o como parte integrante de si mesma. ca Exemplos de proposi¸˜es simples: co p: Pedro ´ estudante. e q: O n´mero 25 ´ um quadrado perfeito. u e r: x ∈ A Defini¸˜o 3 Uma proposi¸˜o composta ´ aquela feita pela composi¸˜o de ca ca e ca duas ou mais proposi¸˜es. co Exemplos de proposi¸˜es compostas: co P: Pedro ´ estudante e Maria ´ professora. Q: Se o n´mero 25 ´ quadrado e e u e perfeito ent˜o a raiz quadrada de 25 ´ um n´mero inteiro. R: x ∈ A ou a e u x ∈ B. Uma tabela-verdade apresenta todos os valores l´gicos poss´ o ıveis para uma proposi¸ao simples, a combina¸ao v´rias proposi¸oes simples e o eventual c˜ c a c˜ valor l´gico de um proposi¸ao composta para cada combina¸ao dos valores o c˜ c˜ das proposi¸˜es simples que a formam. co Na l´gica cl´ssica, trabalhamos com o princ´ o a ıpio do terceiro exclu´ ıdo, ou seja, dada uma proposi¸ao qualquer, os unicos valores que ela pode assumir c˜ ´ ´ V ou F . e Se temos apenas uma proposi¸˜o simples p, sua tabela-verdade seria: ca p V F 1

Com duas proposi¸oes simples p e q, temos: c˜ p V V F F q V F V F

Note que o n´mero de casos poss´ u ıveis para n proposi¸oes simples ´ 2n . c˜ e Observa¸˜o 4 Em alguns casos, j´ sabemos que o valor l´gico de uma proca a o posi¸˜o. Nestes casos, na hora de montar a tabela verdade, n˜o usaremos ca a todos os valores l´gicos poss´veis, mas apenas aquele que a proposi¸˜o aso ı ca sume. Por exemplo, a proposi¸˜o p:x ∈ ∅ ´ sempre falta, ent˜o sua