Abcd

2 – Triedro de Frenet1

2.1 – Introdução

Nesta seção é desenvolvido um sistema de referência, com origem no ponto que define a posição de uma partícula ao longo de sua trajetória. Este referencial será importante para desenvolver uma abordagem vetorial da velocidade e da aceleração de uma partícula nas próximas seções.

2.2 – Versor da tangente
Inicialmente será adotado um referencial fixo, definido por um sistema de eixos cartesianos OXYZ. A trajetória da partícula pode ser uma representada por uma curva e a posição da partícula ao longo desta trajetória pode ser definida pelo ponto
P = ( x, y, z ) ∈ a curva, cujas coordenadas podem ser expressas em função de um parâmetro escalar t, ou seja,

x = x(t ), y = y (t ) e z = z (t ) . Portanto, P = P (t ) , onde t

não é necessariamente a variável tempo.

Fig. 2.1 – Trajetória do ponto material P

O vetor OP , com origem em O e extremidade no próprio ponto P, localiza um ponto P da curva. Este vetor é chamado de vetor posição.

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Este texto teve a colaboração do aluno Salvatore Fortunato Ferraro.

Conforme visto em Geometria Analítica, o vetor OP pode ser obtido através da diferença entre o ponto de extremidade e o de origem:

OP = P − O
Como P ∈ à curva, OP = ( x , y , z ) − ( 0,0,0 ) = ( x , y , z )
Como x = x(t ), y = y (t ) e z = z (t ) , o vetor OP depende somente do parâmetro t, ou seja, OP = OP(t ) .

Fig. 2.2 – Vetor posição

OP

Para t = t 0 , o vetor assume a posição OP (t 0 ) = OP 0 , se o parâmetro variar para t1 = t 0 + ∆t , o vetor assumirá uma outra posição OP (t1 ) = OP (t 0 + ∆t ) = OP 1 .
Com os vetores OP 0 e OP 1 , o vetor ∆ P é definido por ∆ P = OP 1 − OP 0 .

Fig. 2.3 – Vetor

∆P

Onde ∆ P é o vetor diretor da reta s, secante à curva, e definida pelos pontos P0 e P1 .
Dividindo o vetor ∆ P pelo escalar ∆t , seu módulo é alterado mas sua direção e seu sentido são mantidos.

Fig. 2.4 – Reta secante à curva (reta s) no ponto P0

Reduzindo o