2014 Mudanca De Base

Matriz da Composta
Propriedade
Sejam T : U → V e S : V → W transforma¸c˜ oes lineares entre espa¸cos vetoriais de dimens˜ ao finita e sejam B, B , B bases de
U, V e W, respectivamente. Ent˜ ao, B
B
[ST ]B
B = [S]B [T ]B .

Matriz da Composta
Propriedade
Sejam T : U → V e S : V → W transforma¸c˜ oes lineares entre espa¸cos vetoriais de dimens˜ ao finita e sejam B, B , B bases de
U, V e W, respectivamente. Ent˜ ao, B
B
[ST ]B
B = [S]B [T ]B .

Propriedade
Seja T : V → W um isomorfismo entre espa¸cos vetoriais de dimens˜ao finita e sejam B e B bases de V e W, respectivamente.
Ent˜ao, a matriz da transforma¸c˜ ao inversa T −1 : W → V nas bases B e B satisfaz
B
[T −1 ]B
B = [T ]B

−1

.

Matriz da Composta

Observa¸c˜ao
Seja T : V → V um operador linear em um espa¸co de dimens˜ao
´ usual denotarmos [T ]B simfinita V e seja B uma base de V. E
B
plesmente por [T ]B .

Matriz da Composta
Exemplo
Seja T : R2 → R2 dada por T (x, y) = (ax + by, cx + dy), com ad − bc = 0. A matriz de T na base canˆ onica C de R2 ´e
[T ]C =

a b c d

.

Portanto,
[T −1 ]C = ([T ]C )−1 = e T −1 (x, y) =

1 ad − bc

d −b
−c
a

dx − by −cx + ay
,
ad − bc ad − bc

.

Mudan¸ca de Base
Defini¸ca˜o
Seja V um espa¸co vetorial de dimens˜ ao finita e sejam B e B duas bases de V. Seja I : V → V a aplica¸c˜ ao identidade, isto ´e,
I(v) = v para todo v ∈ V. A matriz
[I]B
B
´e denominada matriz de mudan¸ca de bases de B para B e satisfaz
[v]B = [I]B
B [v]B para todo v ∈ V.
Obs. Como I ´e bijetora, [I]B e invert´ıvel.
B ´

Mudan¸ca de Base
Exemplo
Sejam B = {e1 = (1, 0), e2 = (0, 1)} e B = {w1 = (1, 1), w2 =
(1, −1)} bases de R2 . Temos
I(e1 ) =
I(e2 ) =

1 w1 +
2
1 w1 −
2

1 w2 2
1
w2 .
2

Logo,


[I]B
B =

1
2

1
2

1
2

− 12


.

Mudan¸ca de Base

Exemplo - Continua¸ca˜o
Se v = (x, y) ent˜ao
[v]B =

x y e

[v]B =

Reparem que
[v]B = [I]B
B [v]B como era esperado.

x+y
2
x−y
2

.

Mudan¸ca de Base
Exemplo
Sejam
B = {v1 = (1, 0, 0), v2 = (1, 1, 0), v3 = (1, 1, 1)} e B = {w1 = (0, 0, 1), w2 = (0,