1 Introdu o a integral indefinida

INTEGRAÇÃO:
Conceito e Integral Indefinida
Disciplina: Cálculo II
Professora: Nadjara Paixão

INTRODUÇÃO À INTEGRAÇÃO
 Definição 1

Uma função 𝐹 𝑥 é chamada primitiva da função 𝑓(𝑥) em um intervalo 𝐼, se para todo 𝑥 ∈ 𝐼, tem-se 𝐹 ′ 𝑥 = 𝑓(𝑥).
Exemplos:
a) 𝐹 𝑥 = 3𝑥 6 é uma primitiva da função 𝑓 𝑥 = 18𝑥 5 , pois,
𝐹 ′ 𝑥 = 3𝑥 6 ′ = 18𝑥 5 .
b) 𝐹 𝑥 = −𝑐𝑜𝑠 𝑥 é uma primitiva da função 𝑓 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥, pois, 𝐹 ′ 𝑥 = − cos 𝑥 ′ = − −𝑠𝑒𝑛 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥.
c) 𝐹 𝑥 = 𝑒 𝑥 + 𝐶 , onde 𝐶 é uma constante (número real qualquer), é uma primitiva da função 𝑓 𝑥 = 𝑒 𝑥 , pois,
𝐹′ 𝑥 = 𝑒 𝑥 + 𝐶 ′ = 𝑒 𝑥 .

INTRODUÇÃO À INTEGRAÇÃO
 Proposição 1

Se 𝐹 𝑥 é primitiva da função 𝑓(𝑥), então 𝐹 𝑥 + 𝐶, onde 𝐶 é uma constante qualquer, também é uma primitiva de 𝑓.
Exemplos:
a) 𝐹 𝑥 = 𝑥 3 + 5 é uma primitiva da função 𝑓 𝑥 = 3𝑥 2 , pois, 𝐹 ′ 𝑥 = (𝑥 3 + 5)′ = 3𝑥 2 .
b) 𝐹 𝑥 = 𝑥 3 + 7 é uma primitiva da função 𝑓 𝑥 = 3𝑥 2 , pois, 𝐹 ′ 𝑥 = 𝑥 3 + 7 ′ = 3𝑥 2 .
c) 𝐹 𝑥 = 𝑥 3 − 15 é uma primitiva da função 𝑓 𝑥 = 3𝑥 2 , pois, 𝐹 ′ 𝑥 = 𝑥 3 − 15 ′ = 3𝑥 2 .

INTRODUÇÃO À INTEGRAÇÃO
 Proposição 2

Se 𝑓′(𝑥) anula-se em todos os pontos de intervalo 𝐼, então 𝑓 é constante em 𝐼.
Exemplos:
a) 𝑓 𝑥 = 3 → 𝑓 ′ 𝑥 = 0
b) 𝑓 𝑥 = −10 → 𝑓 ′ 𝑥 = 0
c) 𝑓 𝑥 =

2
5

→ 𝑓′ 𝑥 = 0

INTRODUÇÃO À INTEGRAÇÃO
 Proposição 3

Se 𝐹 𝑥 e 𝐺(𝑥) são primitivas de 𝑓(𝑥) no intervalo 𝐼, então existe uma constante 𝐶, tal que 𝐺 𝑥 = 𝐹 𝑥 + 𝐶.
Exemplos:
𝐹 𝑥 = 3𝑥 2 + 4 é uma primitiva de 𝑓 𝑥 = 6𝑥.
𝐺 𝑥 = 3𝑥 2 − 2 é uma primitiva da função 𝑓 𝑥 = 6𝑥.
Daí, 𝐺 𝑥 = 𝐹 𝑥 + 𝐶:
3𝑥 2 − 2 = 3𝑥 2 + 4 + 𝐶
3𝑥 2 − 2 = 3𝑥 2 + 4 + 𝐶
3𝑥 2 − 3𝑥 2 − 2 − 4 = 𝐶
𝐶 = −6

INTEGRAL INDEFINIDA
 Definição 2

Se 𝐹 𝑥 é uma primitiva de 𝑓(𝑥), então 𝐹 𝑥 + 𝐶 é chamada integral indefinida de 𝑓(𝑥) e é representada por:
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝐹 𝑥 + 𝐶
O símbolo ∫ é chamado sinal de integração e 𝑓(𝑥) é a função integrando. E o símbolo 𝑑𝑥 serve para