05 Exemplo De Taxa De Varia O
No caso da função do 2º grau temos:
f(x+h) = a(x+h)² + b(x+h) + c = a(x² + 2xh + h²) + bx + bh + c = ax² + 2axh + ah² + bx + bh + c
Então:
f(x+h) – f(x) = ax² + 2axh + ah² + bx + bh + c – (ax² + bx + c) = ax² + 2axh + ah² + bx + bh + c – ax² – bx – c = 2axh + ah² + bh
Assim, temos:
De acordo com a expressão acima, quando h se aproximar de zero, a taxa de variação se aproximará de2ax + b. Dessa forma, podemos expressar essa situação através de um gráfico, que demonstra com clareza que a taxa de variação da função quadrática, quando h se aproxima de zero, é a inclinação da reta tangente à parábola y = ax² + bx + c no ponto (x0, y0).
A inclinação da reta tangente t no ponto (x0,y0) é dada por 2ax0 + b.
Exemplo
Um movimento uniformemente variado é dado pala expressão f(t) = at² + bt + c, que fornece a posição de um objeto num certo tempo t. Na expressão, a é a aceleração, t é o tempo, b é a velocidade inicial e c é a posição inicial do objeto.
Para f(t) = at² + bt + c:
f(t+h) = a(t+h)² + b(t+h) + c = a(t² + 2th + h²) + bt + bh + c = at² + 2ath + ah² + bt + bh + c
f(t+h) – f(t) = at² + 2ath + ah² + bt + bh + c – at² – bt – c = 2ath + ah² + bh
Quando h se aproximar de zero, o valor da velocidade média se aproximará de 2at + b. Portanto, a expressão que determina a velocidade desse objeto a partir da expressão do espaço em função do tempo é:
v(t) = 2at + b