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Máximos e Mínimos em
Funções de Várias Variáveis:
Uma Aplicação da Fórmula de
Taylor, com Análise de
Autovalores da Matriz
Hesiana

André Oliveira Maroneze
MA211 – Turma K
23/11/2003

RA 023146

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Máximos e Mínimos em Funções de Várias Variáveis
Em diversas situações, os pontos mais interessantes de uma função (de uma ou várias variáveis) são os pontos de máximo ou mínimo – os pontos intermediários geralmente não apresentam muitas características interessantes.
Tais pontos são relativamente fáceis de serem encontrados, e podem ser estabelecidas diversas restrições a sua localização. Por suas características especiais, esses pontos são determinados de forma precisa: para funções de uma única variável, qualquer candidato a máximo ou mínimo tem derivada nula. Seja porque a função pára de crescer nele, seja porque ela inicia sua ascensão, pontos de derivada nula podem ocorrer em três situações diferentes:
1 – O ponto é um máximo (local ou absoluto): em um pequeno intervalo ao redor do ponto, todos os valores da função são menores ou iguais a ele;
2 – O ponto é um mínimo (local ou absoluto): em um pequeno intervalo ao redor do ponto, todos os valores da função são maiores ou iguais a ele;
3 – O ponto é uma inflexão: pontos em um pequeno intervalo à sua esquerda são menores ou iguais a ele, e à sua direita são maiores, ou vice-versa.
Situações análogas a essas três ocorrem também em funções de várias variáveis, embora nesse caso seja um pouco mais complicado descobrir tais pontos. Em funções de várias variáveis, a ocorrência de uma derivada parcial nula nem sempre representa algo muito útil; quando se quer minimizar tais funções, costuma-se procurar por pontos em que todas as derivadas parciais sejam nulas; somente assim se garante um ponto crítico, que pode vir a ser de três tipos:
1 – Ponto de máximo: análogo ao caso anterior, exceto que o intervalo, desta vez, é n-dimensional ao redor do ponto. Se a função é de n variáveis, é preciso considerar valores próximos da