Sebenta matemática

(f ) = sup f (x). x∈[xi ,xi+1 ] i=0 NOTAS: 1. As somas superior e inferior est˜o bem definidas. Como f ´ limitada em [a, b], f a e ´ limitada em [xi , xi+1 ], isto ´, o conjunto {f (x) : x ∈ [xi , xi+1 ]} ´ limitado e, e e e portanto, tem ´ ınfimo e supremo. ´´ 2. E obvio que sP (f ) ≤ SP (f ). Veremos que esta propriedade se pode generalizar: para uma fun¸˜o limitada em [a, b], qualquer soma superior ´ maior ou igual a qualquer ca e soma inferior. 3. Se f ´ uma fun¸ao n˜o negativa em [a, b], dada uma parti¸˜o P, a soma inferior e c˜ a ca de Darboux ´ igual ` soma das areas dos rectˆngulos cujos lados tˆm comprimento e a ´ a e xi+1 − xi e inf f (x) (ver Figura 2.1). x∈[xi ,xi+1 ] Analogamente, a soma superior de Darboux ´ igual ` soma das areas dos rectˆngulos e a ´ a cujos lados tˆm comprimento xi+1 − xi e sup f (x) (ver Figura 2.2). e x∈[xi ,xi+1 ] Proposi¸˜o 2.1.2 Sejam a, b ∈ R, a < b, f : [a, b] → R uma fun¸˜o limitada, P1 e P2 ca ca duas parti¸˜es de [a, b], P1 mais fina que P2 . Ent˜o: sP2 (f ) ≤ sP1 (f ) ≤ SP1 (f ) ≤ SP2 (f ). co a Demonstra¸ao: Da Defini¸ao 2.1.2, para cada [xi , xi+1 ] ∈ P2 , existem [yj , yj+1 ] ∈ P1 , j = c˜ c˜ pi ki , . . . , pi , tais que ∪j=ki [yj , yj+1 ] = [xi , xi+1 ]. Ent˜o a f (x) ≤ inf x∈[xi ,xi+1 ] inf x∈[yj ,yj+1 ] f (x), j = ki , . . . , pi , pelo que pi pi (yj+1 − yj ) j=ki inf x∈[yj ,yj+1 ] f (x) ≥ (yj+1 − yj ) j=ki inf…

este livro, pelo apoio e compreensão constantes. Rio de Janeiro, outubro de 2008 Walter do Couto Pfeil Michide Schubert Pfeil Notacões • a b d d' e f., f, .t;k Minúsculas Romanas Comprimento, distância; espaçamento entre enrijecedores. Largura de uma chapa; largura de mesa comprimida de uma viga; lado do filete de solda. Largura efetiva da laje em viga mista; largura efetiva de placa enrijecida em flambagem local. Largura de mesa em vigas I . Distância d a face externa d a…

b locos c erâmicos 50 57 Paredes de c hapas de gesso a carionado ( drywall) Paredes de c hapas d e g esso a cartonado ( drywall) Bloco s llico-calcário sem f unção e strutural A lvenaria sem f unção e strutural com b locos s ilico-calcârios Bloco de c oncreta c elular a utoclavado sem f unção e strutural A lvenaria sem f unção e strutural c om b locos de c oncreto c elular a utoc l avados Bloco e l ijolo de s olo-cimento s em f unção e strutural A lvenaria sem f unção e strutural c om…

Algoritmo Quociente-Diferen¸ca . . . 3.8 Exerc´ıcios Complementares . . . . . . . . . 3.9 Problemas Aplicados e Projetos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .…