Teoria dos números

1 qqn+1 ≥ 1 , 2q 2 absurdo. x− pn p pn+1 pn p ≥ − − − q qn q qn+1 qn 1 1 qn+1 − q ≥ − = qqn qn qn+1 qqn qn+1 1 1 > ≥ 2 2qqn 2q o que tamb´m ´ um absurdo. e e ˜ [SEC. 3.2: BOAS APROXIMA¸ OES SAO REDUZIDAS C˜ 113 Dado α ∈ R, definimos a ordem de α por ord α = sup ν > 0 def α− p p 1 co < ν tem infinitas solu¸˜es ∈ Q . q q q Observemos que a ordem de todo n´mero irracional pode ser calcuu lado a partir de sua fra¸˜o cont´ ca ınua. Teorema 3.19. Seja α um n´mero irracional, e sejam [a0 ; a1 , a2 , a3 . . .] u pn sua fra¸˜o cont´ ca ınua e { qn } suas convergentes. Ent˜o a ord α = 1 + lim sup n→∞ ln qn+1 ln an+1 = 2 + lim sup . ln qn ln qn n→∞ Demonstra¸ ao: Sabemos que as melhores aproxima¸˜es por racic˜ co onais s˜o obtidas a partir das convergentes da fra¸˜o cont´ a ca ınua, assim para calcular a ordem, basta calcular a ordem gerada pelas convergen1 n tes. Seja sn > 0 um n´mero real tal que α − pn = qsn . Pelo teorema u q n 3.11 sabemos que α − α− pn 1 > qn 2 α− pn qn < 1 qn qn+1 e = 1 pn+1 pn 1 − . = 2 qn+1 qn 2qn qn+1 pn pn+1 + α− qn qn+1 Logo temos que 1 1 1 ≤ sn ≤ , 2qn qn+1 qn qn qn+1 e tomando o logaritmo obtemos ln 2 + ln qn + ln qn+1 ≥ sn ln qn ≥ ln qn + ln qn+1 . ln qn+1 . Para mostrar a seln qn n→∞ n→∞ gunda igualdade, observemos que qn+1 = an+1 qn + qn−1 , assim Portanto ord α = lim sup sn = 1 + lim sup an+1 qn < qn+1 < (an+1 + 1)qn , agora tomando o logaritmo e dividindo…