Calculo Legal

´ U NIVERSIDADE F EDERAL DO PARAN A ´ D EPARTAMENTO DE M ATEM ATICA ´ ´ M ANUAL T E CNICO -D ID ATICO ´ ´ ´ C ALCULO DE V ARIAS VARI AVEIS - CM042 ´ D EFINIC OES , R ESULTADOS , F ORMUL ARIOS ¸˜ E E XERC´CIOS R ESOLVIDOS I Autor: Professor Jos´ Renato Ramos Barbosa e Chefe do Departamento: Professor Carlos Henrique dos Santos Primeira Vers˜ o: Dezembro de 2009 a Segunda Vers˜ o: Dezembro de 2010 a Terceira Vers˜ o: Abril de 2011 a www.ufpr.br/∼jrrb 2 Conteudo ´ 1 Introdu¸ ao c˜ 2 Defini¸ oes c˜ 2.1 Bola Aberta de Centro P0 ∈ R n e Raio r > 0 . . . . . . . 2.1.1 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.2 Observacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ¸˜ 2.2 Conjunto Aberto - Ponto Interior . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Ponto de Fronteira . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Conjunto Compacto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.1 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5 Gr´ ficos de Funcoes Reais f de . . . . . . . . . . . . . . a ¸˜ 2.5.1 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.2 Conjunto de N´vel . . . . . . . . . . . . . . . . . ı 2.6 Traco da Curva Parametrizada γ(t) = ( x (t), y(t), z(t)) . ¸ 2.6.1 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6.2 Dinˆ mica de Uma Part´cula Percorrendo o…

da pesquisa a que irá lançar-se. Entretanto, a pre­ sença de Clausewitz não se limita a este aspecto, como se pode ver das citações adiall_te: "A guerra é de todas as épocas e de todas as civilizações. Os homens sempre se mataram, empregando os instrumentos fornecidos pelo costume e a técnica disponível: com machados e canhões, flechas ou projéteis; explosivos químicos ou reações atômicas; de perto ou de longe; individualmente ou em massa; ao acaso ou de modo sistemático. Uma "tipologia…