Aplicações de integral

II › Área de uma Superfície de Revolução Quando uma curva plana gira em torno de uma reta no plano, obtemos uma superfície de revolução. APLICAÇÕES DA INTEGRAL DEFINIDA Cálculo II › Área de uma Superfície de Revolução Supondo que f(x) ≥ 0, para todo x ∈ [a, b], e que f é uma função derivável em [a, b], a fórmula do cálculo da área de uma superfície de revolução é dada por: b b a a A   2f ( x)dS   2f ( x) 1  [ f `( x)]2 dx APLICAÇÕES DA INTEGRAL DEFINIDA Cálculo II › Área de uma Superfície de Revolução Quando a superfície gerada pela revolução em torno do eixo y, a fórmula do cálculo da área de uma superfície de revolução é dada por: b b a a A   2f ( y)dS   2f ( y) 1  [ f `( y)]2 dy Exemplo Cálculo II 1) Calcule a área da superfície de revolução gerada pela rotação do gráfico de 2) f ( x)  2 x entre x = 0 e x = 2, em torno do eixo do x. Calcule a área da superfície de revolução gerada pela rotação do gráfico de x  y entre y = 0 e y = 3, em torno do eixo do y. Exercícios Avaliativos Cálculo II 1) Calcule a área da superfície de revolução gerada pela rotação do gráfico de y x entre x = 1 e x = 4, em torno do eixo do x. 2) Calcule a área da superfície de revolução gerada pela rotação do gráfico de y  3x  2 entre (0, 2) e (3, 11), em torno do eixo do x. 3) Calcule a área da superfície de revolução gerada pela rotação do gráfico de y  x 3 entre (0, 0) e (2, 8), em torno do eixo do x. Exercícios Avaliativos Cálculo…

de Revolução Considerando as diversas formas que encontramos na natureza, podemos verificar que muito poucas tem formas regulares, dificilmente poderíamos encontrar o volume de um corpo solido encontrado comumente na natureza por meio da geometria euclidiana, as curvas são comuns no nosso mundo, muitas delas podem ser determinadas por equações, porem antes que a teoria do Calculo fosse elaborada os volumes eram calculados por aproximações. Hoje podemos obter muitos dos volumes de corpos…

Cálculo da área em coordenadas cartesianas Cálculo de comprimento de arco Cálculo da área de um sólido de revolução Cálculo do volume de um sólido de revolução Coordenadas polares: gráficos Cálculo de comprimento de arco em coordenadas polares Cálculo de áreas planas em coordenadas polares - Funções de várias variáveis Definição Representação geométrica de uma função de duas variáveis Derivadas parciais da função de várias variáveis…

Geometria Analítica Enquanto em cálculo I as coordenadas eram (x,y) usava-se o espaço R², em cálculo II as coordenadas serão (x,y,z) então usaremos o espaço R³, mas não apenas ele, podemos usar o R4, R5, até Rn, dependendo do número de variáveis. Sistema de coordenadas ortogonais no espaço Quando desenhamos um sistema no qual localizaremos os pontos, utilizamos retas perpendiculares, ( retas que formam um ângulo de 90º entre si) e o ponto no qual essas retas se encontram é chamado de…

Coordenadas polares Pontos no sistema de coordenadas polar. O pólo é indicado pela letra O e o eixo polar pela letra L. A verde, um ponto com coordenada radial 3 e coordenada angular de 60 graus, ou (3,60º). A azul, o ponto de coordenadas (4,210º) Em matemática, um sistema de coordenas polares é um sistema de coordenadas bidimensional, no qual cada ponto de um plano é determinado pela sua distância em relação a um ponto fixo e do ângulo em relação a uma direção fixa. Este ponto…

Simples 1.1 Área de regiões planares Seja R a região limitada pelo gráfico da função y = f (x), as retas x = a, x = b e o eixo x, sendo f (x) ≥ 0 para todo [a, b]. A área da região R é dado pela fórmula: b A= f (x)dx. a y y y = f (x) y = f (x) R O a b O x a x1 x2 xi xi+1 b = xn x DEMONSTRAÇÃO Tomemos números x0 , x1 , x2 , · · · , xn ∈ [a, b] tais que a = x0 < x1 < x2 < · · · < xn = b e, x∗ , x∗ , · · · , x∗ tais que x∗ ∈…

Etapa 4 - Passo 1 Usaremos a integral para calcular o volume de um tipo particular de região do espaço, chamada de sólidos de revolução. Exemplo: Colocando o sistema de eixos de modo que o eixo y seja perpendicular à base da pirâmide reta, passando pelo centro, temos: Para cada corte transversal na altura h-y, temos que a secção obtida é um quadrado, paralelo à base, cuja área é (2x)². Examinando o longitudinal ao lado, por semelhança de triângulos, podemos escrever: e daí …

Integral Simples 1.1 Área de regiões planares Seja R a região limitada pelo gráfico da função y = f (x), as retas x = a, x = b e o eixo x, sendo f (x) ≥ 0 para todo [a, b]. A área da região R é dado pela fórmula: b A= f (x)dx. a y y y = f (x) y = f (x) R O a b O x a x1 x2 xi xi+1 b = xn x DEMONSTRAÇÃO Tomemos números x0 , x1 , x2 , · · · , xn ∈ [a, b] tais que a = x0 < x1 < x2 < · · · < xn = b e, x∗1 , x∗2 , · · · , x∗n…

QUADRICAS Elipsoide [pic] [pic] Imagem tridimensional de um elipsóide Em matemática, um elipsoide (pré-AO 1990: elipsóide) é um sólido que resulta da rotação de uma elipse em torno de um dos seus eixos. A equação de um elipsóide num sistema decoordenadas cartesiano x-y-z é [pic] onde a, b e c são números reais positivos que determinam as dimensões e forma do elipsóide. Se dois dos números são iguais, o elipsóide é um esferóide; se os três forem iguais, trata-se de…

Demonstração de Formulas de área comprimento e volume através de Integral Definida Welton Weber São Bento do Sul Agosto/2013 0 Welton Weber Demonstração de Formulas de área comprimento e volume através de Integral Definida Trabalho a ser apresentado na disciplina de Calculo B no curso de Engenharia de Produção – habilitação mecânica da Universidade do Estado de Santa Catarina, UDESC (CEPLAN). Prof ª: Rodrigo Schmdt São Bento do Sul 28/08/2013 1 SUMARIO …