álgebra booleana

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Algebra de Boole
Jo˜o Paulo Cerquinho Cajueiro a 19 de agosto de 2009
A ´lgebra de Boole foi desenvolvida por George Boole(1815–1864) em seu a livro An Investigation of the Laws of Thought on Which are Founded the Mathematical Theories of Logic and Probabilities de 1854. Ela buscava uma base matem´tica formal para a l´gica e probabilidade e passou um longo tempo sendo a o conhecida apenas por matem´ticos, sem encontrar uma utilidade pr´tica. Foi, a a de certo modo, descoberta por Claude Shannon(1916–2001), que a utilizou em sua tese de mestrado A Symbolic Analysis of Relay and Switching Circuits em
1937 para desenvolver circuitos el´tricos que realizassem fun¸˜es l´gicas. e co o

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Postulados

Pensando em probabilidade, a id´ia b´sica da ´lgebra booleana ´ de utilizar e a a e conceitos de ´lgebra para expressar quest˜es de probabilidade ou de l´gica. a o o Neste sentido o n´mero 1 expressa o conceito l´gico de verdadeiro ou o conceito u o probabil´ ıstico (ou melhor, de teoria de conjuntos) de todo o espa¸o amostral, c o 0 ´ o equivalente l´gico de falso ou de conjunto nulo, a soma + equivale e o ao ou l´gico e a uni˜o (∪) de conjuntos e a multiplica¸˜o equivale a opera¸˜o o a ca ca l´gica e e a intersec¸˜o (∩) de conjuntos. Os potulados s˜o feitos de modo a o ca a garantir esta equivalˆncia. e Postulado 1 – Opera¸˜es: co A algebra de Boole tem um conjunto K de 2 ou mais valores e duas opera¸oes:
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c˜
· e +, de modo que para todo a, b pertencentes a K:
(a)
(b)

a·b ∈ K a+b∈K (P1)

a+0=a a·1 = 1

(P2)

a+b=b+a a·b = b·a

(P3)

Postulado 2 – Valores Neutros:
Existem valores 0 e 1 tais que:
(a)
(b)
Postulado 3 – comutatividade:
(a)
(b)

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Postulado 4 – associatividade:
(a)
(b)

a + (b + c) = (a + b) + c a · (b · c) = (a · b) · c

(P4)

Postulado 5 – distributividade:
(a)
(b)

a + (b · c) = (a + b) · (a + c) a · (b + c) = (a · b) + (a · c)

(P5)

Postulado 6 –