o triangulo e suas principais circunfêrencias

O TRIÂNGULO E SUAS PRINCIPAIS CIRCUNFERÊNCIAS
Eduardo Wagner, Rio de Janeiro - RJ

Nível Iniciante

Vamos tratar neste artigo das circunferências inscrita, circunscrita e exinscritas de um triângulo. Mostraremos diversas propriedades, relações interessantes e alguns problemas.
Em todo o artigo, o triângulo ABC possui lados AB = c, BC = a e CA = b. O seu semiperímetro é p e sua área é S. Será necessário que o leitor conheça a fórmula de Heron para área do triângulo em função de seus lados:
.

A circunferência inscrita
A circunferência inscrita tem centro I, incentro do triângulo, que é o ponto de interseção das bissetrizes internas.

A área do triângulo ABC é a soma das áreas dos triângulos AIB, BIC e CIA, que possuem altura igual a r, raio da circunferência inscrita. Portanto,

A nossa primeira relação é:
S = pr

que permite calcular o raio da circunferência inscrita em um triângulo em função de seus lados.

A circunferência circunscrita

Considere agora o triângulo ABC inscrito em uma circunferência de raio R. Seja AH = h uma altura e seja AD um diâmetro dessa circunferência.

Os triângulos AHB e ACD são semelhantes uma vez que os ângulos AHB e ACD são retos e os ângulos ABC e ADC são iguais pois subtendem o mesmo arco. Logo,

ou seja, bc = 2Rh. Multiplicando pelo comprimento do lado BC os dois lados, temos abc = 2Rah. Mas ah é o dobro da área do triângulo ABC e assim encontramos a nossa segunda relação : abc = 4RS

Ela permite calcular o raio da circunferência circunscrita a um triângulo em função dos seus lados.

As circunferências exinscritas
A circunferência exinscrita relativa ao vértice A do triângulo ABC é tangente ao lado BC e às retas AB e AC. Seu raio será designado por ra e seu centro por IA , chamado de exincentro (ou excentro) relativo ao vértice A do triângulo ABC. O ponto IA é a interseção da bissetriz interna de A e das bissetrizes externas de B e C. As outras duas circunferências exinscritas e os dois