o mercador de veneza

Continuidade
Definição:
Seja f uma função definida em um intervalo aberto I e “a” um elemento de I.
Dizemos que f é contínua em “a”, se

(i )∃ lim f ( x ) x→ a

(ii ) lim f ( x) = f (a ) x→a Definição:
Dizemos que uma função f é contínua em um intervalo fechado

[a, b] se f for

contínua no intervalo ]a, b[ e se também for contínua em a, à direita, e em b, à esquerda. Definição:
Seja a um ponto do domínio de f. Dizemos que f é contínua à direita de a se lim+ f ( x ) = f (a ) e dizemos que f é contínua à esquerda de a se x→a lim f ( x) = f ( a ) .

x →a −

Propriedade das funções contínuas
Proposição: Se as funções f e g são contínuas em um ponto “a”, então
(i)
(ii)
(iii)
(iv)

f + g é contínua em a; f - g é contínua em a; f . g é contínua em a; f /g é contínua em a; desde que g(a) ≠ 0.

Prova: Item (i)
Como f e g são contínuas, então

lim f ( x) = f ( a ) e lim g ( x) = g ( a ) . x →a x →a lim( f + g )( x) = lim f ( x) + lim g ( x) = f ( a ) + g (a ) = (f + g)(a). x →a

Proposição:

x→ a

x →a

(i)
(ii)
(iii)
(iv)

Uma função polinomial é contínua para todo número real.
Uma função racional é contínua para todos os elementos do seu domínio. As funções f ( x) = sen x e g ( x) = cos x são contínuas para todo número real x.
A função exponencial f ( x) = e x é contínua para todo número real
x.
Teorema do Valor Intermediário

Se f é contínua no intervalo fechado

[a, b]

e L é um número tal que

f (a ) ≤ L ≤ f (b) ou f (b) ≤ L ≤ f (a ) , então existe pelo menos um x ∈ [a, b] tal que f ( x) = L .

Consequência:
Se f é contínua em [a, b ] e se f (a ) e f (b) tem sinais opostos, então existe pelo menos um número c entre a e b tal que f (c) = 0 .