O estudo da trigonometria

O estudo da trigonometria é fundamentado nas relações existentes entre ângulos e medidas. No triângulo retângulo, essas relações são constantemente trabalhadas e alguns ângulos presentes nesse tipo de triângulo são usados com maior frequência, eles recebem o nome de ângulos notáveis e seus valores são de 30º, 45º e 60º.

Vamos relembrar as relações trigonométricas existentes no triângulo retângulo: seno, cosseno e tangente.

Para demonstrarmos as relações trigonométricas no triângulo retângulo dos ângulos 30°e 60°, é preciso obter um triângulo que tenha esses dois ângulos.

Observe o triângulo equilátero (todos os ângulos internos são iguais a 60º) ABC de lado igual a x, é preciso calcular o valor da sua altura. Traçar sua altura é o mesmo que traçar a bissetriz do ângulo A e a mediatriz da base BC.

Para calcular a sua altura, basta aplicar o Teorema de Pitágoras no triângulo AHC:

Com o valor da altura em função de x e utilizando o triângulo retângulo AHC, podemos determinar as relações trigonométricas dos ângulos de 30° e de 60º no triângulo AHC.

Como o triângulo equilátero não possui ângulo de 45°, precisamos traçar a diagonal do quadrado formando dois triângulos retângulos, a diagonal é uma bissetriz, ou seja, divide o ângulo de 90º em dois de 45º. Veja como:

Dado o quadrado ABCD de lado x e diagonal d.

Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo ABD, iremos descobrir um valor para a diagonal (d) em função de x.

Assim, com o valor da diagonal é possível calcular o valor das relações trigonométricas do triângulo retângulo ABD com o ângulo de 45°.

Com base em algumas deduções geométricas e cálculos matemáticos, conseguimos calcular as relações trigonométricas seno, cosseno e tangente dos ângulos de 30º, 45º e 60º do triângulo retângulo. A partir dos cálculos efetuados construímos a seguinte tabela de relações trigonométricas: