C Lculo Diferencial E Integral Prof

Cálculo Diferencial e Integral

Introdução

Transformadas de Laplace

Turma: Engenharia de Controle e Automação matutino

Prof. HANS-ULRICH PILCHOWSKI

POLOS

Pontos do plano “” em que uma função é analítica são chamados de pontos ordinários, enquanto os pontos do plano “” em que a função não é analítica são chamados de pontos singulares. Pontos singulares em que a função e suas derivadas se aproximam do infinito podem ser pólos ou singularidades essenciais da função. Pontos do plano “” em que a função são denominados zeros finitos ou zeros no infinito da função.

a) Supondo a função

Então, se tende ao infinito quando e se a função para tem um valor finito não nulo em , então é denominado pólo de ordem . Se o pólo é denominado pólo simples. E os pontos em que a função são denominados zeros. Desta forma em tem-se um zero da função, e quando tem-se obtém-se mais dois zeros.

Por tanto, a função possui três pólos e três zeros, isto é, um pólo simples em , um pólo duplo em , um zero finito em e dois zeros no infinito, quando .

b) Supondo a função

Se tende ao infinito quando e se a função para continua a tender ao infinito em , então é denominado singularidade essencial de ordem . Se a singularidade essencial é denominado singularidade essencial isolada. Assim, quando tem-se obtém-se mais uma singularidade essencial no infinito.

Por tanto, a função possui um zero e duas singularidade essenciais, isto é, um zero finito em , uma singularidade essencial isolada em , uma singularidade essencial no infinito, quando .

Exemplo:

tem pólos em e .

tende ao infinito quando e , portanto é um pólo simples. tende ao infinito quando e , portanto é um pólo triplo. em , portanto possui um zero finito neste ponto. é um pólo simples. quando obtém-se três zeros no infinito,

pois .

Por tanto, a função possui quatro pólos e quatro zeros, isto é, um pólo simples em , um pólo triplo em , um zero