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PROPRIEDADES DOS DETERMINANTES:
(de matriz quadrada de ordem n)

As propriedades a seguir são relativas a determinantes associados a matrizes quadradas de ordem n. Estas propriedades, muitas vezes nos permite simplificar os cálculos.

P1-) Quando todos os elementos de uma fila (linha ou coluna) são nulos, o determinante dessa matriz é nulo.

Exemplos:

1-) 2-)

P2-) Se duas filas paralelas de uma matriz são iguais, então seu determinante é nulo.

Exemplo:

1-) pois, L1 = L3

P3-) Se duas filas paralelas de uma matriz são proporcionais, então o seu determinante é nulo.

Exemplo:

1-) pois C3 = 2C1

P4-) Se os elementos de uma fila de uma matriz são combinações lineares dos elementos correspondentes de filas paralelas, então o seu determinante é nulo.

Exemplos:

1-) pois C1 + C2 = C3 2-) pois 2L1 + L2 = L3

OBS.: Definição de combinação linear:
Um vetor v é uma combinação linear dos vetores v1, v2, ... ,vk, se existem escalares a1, a2, ... ,ak tal que: v= a1. v1+...+ ak. vk

P5-) Teorema de Jacobi: O determinante de uma matriz não se altera quando somamos aos elementos de uma fila uma combinação linear dos elementos correspondentes de filas paralelas.

Exemplo:

1-)

Substituindo a 1ª coluna pela soma dessa mesma coluna com o dobro da 2ª, temos:

P6-) O determinante de uma matriz e o de sua transposta são iguais.

Exemplo:

Det A = Det At =

P7-) Multiplicando por um número real todos os elementos de uma fila em uma matriz, o determinante dessa matriz fica multiplicado por esse número. Exemplos:

1-) Multiplicando C1 por 2, temos:

2-) Multiplicando L1 por , temos:

P8-) Quando trocamos as posições de duas filas paralelas, o determinante de uma matriz muda de sinal.

Exemplo:

Trocando as posições de L1 e L2, por exemplo, temos:

P9-) Quando, em uma matriz, os elementos acima ou