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Modelos Matemáticos de Sistemas Físicos

Modelos matemáticos e linearidade
Modelo matemático de um sistema:
Relações matemáticas que se verificam entre as variáveis do sistema (normalmente equações diferenciais).

Se um sistema for linear, o seu modelo e o seu estudo são mais facilitados. O comportamento não linear dos sistemas é normalmente difícil de analisar sendo frequentemente necessário construir modelos lineares válidos numa dada região de operação.

Definição de linearidade de um sistema
Um sistema diz-se linear se verificar as seguintes duas propriedades:
Sobreposição Resposta proporcional (ou homogeneidade)

Muitas vezes usam-se aproximações aos modelos reais de forma a que se tenham modelos lineares.

Propriedade da sobreposição
Um sistema linear inicialmente em repouso responde de forma independente a entradas diferentes aplicadas simultaneamente. Se r1(t) e r2(t) forem duas entradas aplicadas separadamente ao sistema e as respetivas saídas forem c1(t) e c2(t) r1(t) → c1(t) e r2(t) → c2(t)

Se se aplicar r1(t) e r2(t) simultaneamente tem-se:
[r1(t)+r2(t)] -> [c1(t)+c2(t)]

Resposta proporcional
Num sistema linear, se a entrada for multiplicada por um fator K, então a saída aparece multiplicada pelo mesmo fator
[K1r1(t)+K2r2(t)] -> [K1c1(t)+K2c2(t)]

Os sistemas mecânicos e elétricos comportam-se de uma forma linear ao longo de uma zona de funcionamento relativamente grande Os sistemas térmicos e fluídicos têm características acentuadamente não lineares.

A aproximação linear por truncagem
O desenvolvimento em série de Taylor de f(x) em torno de (x0,y0) é dado por: df y = f ( x ) = f ( x0 ) + ( x − x0 ) dx

( x − x0 ) + x = x0

2

2!

d2 f dx 2

+ ... x = x0

Desprezando os termos a partir da segunda ordem virá: y ≈ f ( x0 ) + m ( x − x0 )

y ≈ y0 + mΔx

A expressão anterior traduz uma variação linear da função que se representa portanto por uma reta de declive m

Linearização de elementos não