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Estimadores
Resolução ex.10
1.

Sendo X e Y variáveis aleatórias discretas com três f.m.ps conjuntas possíveis:

(i)
X/Y
-1
0
1

-1
1/6
0
1/6

(ii)

0
1/6
0
1/6

1
0
1/3
0

X/Y
-1
0
-1

-1
1/9
1/9
1/9

0
1/9
1/9
1/9

(iii)
1
1/9
1/9
1/9

X/Y
-1
0
1

-1
1/3
0
0

0
0
1/3
0

1
0
0
1/3

(a) Encontre o estimador de erro quadrático mínimo linear de Y dado X
(b) Encontre o estimador de erro quadrático mínimo de Y dado X
(c) Encontre os estimadores MAP e ML de Y dado X
(d) Compare o erro quadrático médio dos estimadores em (a), (b) e (c)
[]

Respostas do item 1a:
Primeiro iremos aplicar a equação do estimador de erro quadrático mínimo linear, que considera que Y é uma função linear de X: g(Y ) = aY + b. Para obter a expressão para a e b, calcula-se o valor esperado o erro médio quadrático e depois se deriva e pega o valor em zero. A expressão do estimador fica:

X − E[X]
+ E[Y ]
Yˆ = a∗ X + b∗ = ρx,y σy σx Para resolver o exercício precisamos dos seguintes resultados intermediários:

E[X], E[Y ], σx , σy e ρx,y
Vamos analisar a tabela (i). A distribuição em X e em Y são calculados a partir do teorema da probabilidade marginal:
P (B) =

P (Ak , B) k A distribuição em X fica: P (X = −1) = 1/3, P (X = 0) = 1/3, P (X = 1) = 1/3 e em
Y : P (Y = −1) = 1/3, P (Y = 0) = 1/3, P (Y = 1) = 1/3.

Valores esperados e variâncias:
∞

E[X] =

xk P (xk ) k=1 Var[X] = E X 2 − (E [X])2
E[X] = E[Y ] = 0, Var[X] = Var[Y ] = 2/3

ρ=

A correlação:
Cov[X, Y ]
Var[X] Var[Y ]

E a covariância:
Cov[X, Y ] = E[XY ] − E[X]E[Y ]

O segundo termo a direita vale zero, agora o primeiro termo E[XY ], fica:
1
1
1
1
1
E[XY ] =
XY pxy (XY ) = 1 · + 0 · − 1 · 0 + 0 · 0 − 0 · 0 − 0 · − 1 · + 0 · + 1 · 0
6
6
3
6
6
E[XY ] = 0, então: ρx,y = 0
Calculando o estimador de Y , Yˆ para cada X, fica:
Yˆ (−1) = −1/2, Yˆ (0) = 1, Yˆ (+1) = −1/2

Respostas do item 1b:

Se calcula a