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Matemática A
Outubro de 2009

Matemática A
Itens – 10.º Ano de Escolaridade

No Teste intermédio, que se irá realizar no dia 29 de Janeiro de 2010, os itens de grau de dificuldade mais elevado poderão ser adaptações de alguns dos itens que a seguir se apresentam.

Matemática A - 10.º Ano de Escolaridade – Página 1

Notas prévias:
1. Na resolução de alguns itens, poderá ser-lhe útil ter em conta que:
• a diagonal de um quadrado de lado + é igual a È# +
• a diagonal espacial de um cubo de aresta + é igual a È$ +
È$
• a altura de um triângulo equilátero de lado + é igual a # +
2. Quando, para um resultado, não é pedida a aproximação, apresente o valor exacto.

1.

Nas figuras 1 e 2 estão representados, a tracejado, dois hexágonos regulares geometricamente iguais e de lado 2.
Cada um dos hexágonos tem inscrita uma estrela com doze vértices.

Figura 1

Figura 2

A estrela representada na figura 1 tem seis vértices coincidentes com os pontos médios dos lados do hexágono; cada um dos outros vértices coincide com o ponto médio de um segmento de recta cujos extremos são o centro e um vértice do hexágono.
A estrela representada na figura 2 tem seis vértices coincidentes com os vértices do hexágono; cada um dos outros vértices coincide com o ponto médio de um segmento de recta cujos extremos são o centro do hexágono e o ponto médio de um lado do hexágono.
Mostre que as áreas das duas estrelas são iguais.

2.

Na figura 3 estão representadas duas circunferências: uma de centro S, de que ÒEHÓ e ÒJ IÓ são dois diâmetros perpendiculares; outra de que ÒFGÓ e ÒJ SÓ são dois diâmetros, também perpendiculares.

2.1. Calcule a área do pentágono ÒEFGHIÓ, supondo que
ES œ #

2.2. Designe ES por