Vibracoes Livres Modelagem 1GL

Pró-Reitoria Acadêmica
Escola de Ciências Exatas

Vibrações Livres de Sistemas de um grau de Liberdade

Profa. MSc. Denise Andrade
Manaus, 2015

Vibrações Livres sem Amortecimento

Vibrações Livres sem Amortecimento
 Consideremos o sistema massa mola:

Vibrações Livres sem Amortecimento
A força restauradora é função apenas da deformação




F  F (x)
Assumindo que F(x) possui derivadas contínuas de todas as ordens, podemos expandi-las em uma Série de Taylor:

Considerando os deslocamentos muito pequenos, temos

 dF 
F ( x )  x

 dx 0


Vibrações Livres sem Amortecimento
Sendo que

dF
 k dx Portanto


F ( x)  kx
Lembrando que o sinal negativo é por ser uma força restauradora.
A força restauradora é uma força linear e portanto obedecem a Lei de Hooke.

Vibrações Livres sem Amortecimento
A equação do MHS, segundo as leis de Newton é:

Chegando a
..

ou

x  x  0

esta equação é uma equação diferencial, ordinária de segunda ordem, linear e homogênea, onde se define  como sendo a freqüência angular, que é uma função da massa e da constante elástica. Vibrações Livres sem Amortecimento
Este tipo de equação possui as seguintes propriedades:

Combinando tais propriedades, podemos dizer que

x(t )  C1 x1 (t )  C2 x2 (t ) onde C1 e C2 são constantes.
Vamos encontrar uma equação que tenha esse tipo.
Como x é função do tempo, devemos encontrar um função que, sua derivada segunda seja proporcional à própria função. Uma função exponencial é deste tipo.

x(t )  et

Vibrações Livres sem Amortecimento logo derivando, encontramos que

  i logo a solução geral da equação diferencial geral fica

x(t )  C1eit  C2eit
Lembrando que

eit  cos(t )  isen(t )

Vibrações Livres sem Amortecimento
Depois de algumas manipulações matemáticas, temos.

x(t )  Asen( ) cos(t )  iA cos( )sen(t ) fazendo C1  C2  Asen
C1  C2  A cos 
Portanto a solução para o sistema massa mola e conseqüentemente do MHS são:

x(t )  Asen (t   ) x(t )  A