Utilidade prática do cálculo diferencial

INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA DO TOCANTINS
ENGENHARIA CIVIL

Luis Rangel Amorim da Silva

Aplicação prática do Cálculo I na Engenharia Civil

Palmas-TO
2014
1. INTRODUÇÃO

O cálculo está presente no dia a dia da maioria dos calouros de engenharia civil. Apesar de que nos primeiros períodos da faculdade alguns alunos podem não entender a aplicação prática desta disciplina, ela sem dúvidas é fundamental para o desenvolvimento do curso. Possui aplicações em diversas áreas da engenharia, como no cálculo dos esforços resultantes em treliça ou no cálculo de um trabalho realizado. Este trabalho abordará uma aplicação mais direta da derivada na resolução de problemas relacionados à engenharia.

Palavras chave: Calculo – Engenharia Civil – Limites - Derivadas

2. METODOLOGIA

Este trabalho foi realizado com base em pesquisas bibliográficas e em tópicos abordados em sala de aula.

3. Discussão

O estudo do limite de uma função é essencial para que possamos desenvolver uma aplicação pratica da derivada, seja como taxa de variação ou como otimização de uma função.

Ex 01: Um tanque de água tem a forma de um cone circular invertido, com base de raio de 2m e altura igual a 4m. Se a água está sendo bombeada para dentro do tanque a uma taxa de 2m³/min. Qual será a taxa pela qual o nível de água estará se elevando quando tiver 3m de profundidade?
Solução:
Para facilitar o cálculo, fazemos um esboço do cone e colocamos legendas. Seja V, o volume da água, r o raio da superfície e h a altura no instante t, então:

Figura 01 Foi dado a altura h=3 e a taxa de variação do volume dV/dt=2m³/min. Relacionamos essas grandezas através da equação:
V=1/3πr²h
Para facilitar a resolução do problema expressamos r em termos de h, através da semelhança dos triângulos da Figura 01: r/h=2/4 → r=h/2

A expressão para V fica:
V=1/3π(h/2)²h
Para sabermos a taxa a qual está variando a altura no instante t,