Unidade4

Módulo 2

Derivadas

Incremento e taxa média de variação
Consideremos uma função f , dada por y  f (x) .
Quando x varia de um valor inicial de x para um valor
ÀQDOGH x , temos o incremento em x . O símbolo matemático para a variação em x FKDPDGDLQFUHPHQWRHP x , será
6x (leia-se delta x ). Logo,

A partir de agora, veremos um dos conceitos mais importantes do calculo diferencial: a derivada de uma função.

6x YDORUÀQDOGH x – valor inicial de x .
Por exemplo, quando x passa de um valor inicial 2 para um valor
ÀQDORLQFUHPHQWRHP x será 6x  2,5 < 2  0,5.
O incremento em y , 6y (leia-se delta y ), será
6y YDORUÀQDOGH y – valor inicial de y .
Por exemplo, quando y passa de um valor inicial 5 para um valor
ÀQDORLQFUHPHQWRHP y será 6y  7,25 < 5  2,25 .
Consideremos agora a função y  f (x)  x 2 1 . Vamos calcular
6x quando x varia do valor x  1 para x  3 e também calcular 6y . Inicialmente temos 6x  3 < 1  2 . Para calcularmos o valor de 6y , temos
• para x  1 ‰ y  f (1)  12 1  2 e
• para x  2 ‰ y  f (2)  22 1  5 .
Assim, 6y  5 < 2  3 . Portanto, 6x  2 e 6y  3 .
De um modo geral, temos
Valor inicial de x  x0 HYDORUÀQDOGH x  x0 6x ;



Valor inicial de y  f (x0 ) HYDORUÀQDOGH y  f x0 6x . Assim,



6y  f x0 6x < f (x0 ) .

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Curso de Graduação em Administração a Distância

Para a função y  f (x)  x 2 1 , temos



6y  f x0 6x < f (x0 )



2



 x0 6x 1 < x02 1



2

 x02 2x0 6x 6x 1 < x02 < 1



 2x0 6x 6x

2

Portanto,



2

6y  2 u x0 u 6x 6x .
O que acabamos de mencionar, (conceito de incremento), nos motiva
DVHJXLQWHGHÀQLomR

Seja f (x) XPDIXQomRGHÀQLomRHPXPLQWHUYDOR [a,b] e x0 D[a,b] , ™x D[a,b] com x & x0 . Quando a variável x passa para o valor x  x0 para o valor x  x0 6x sofrendo uma variação 6x , 6x  x < x0 , o correspondente valor da



função passa de f (x0 ) para o valor f x0 6x sofrendo,