trigonometria

C´lculo diferencial para fun¸˜es trigonom´tricas a co e 13 de Dezembro de 2007
0.1

Uma introdu¸˜o com algumas defini¸oes b´sicas da ca c˜ a trigonometria

O objetivo destas notas ´ estudar propriedades de derivabilidade das fun¸˜es e co trigonom´tricas. Aqui vamos denotar por s, c : R → R as fun¸˜es seno e cosseno, e co ou seja, s(x) = sen x e c(x) = cos x.
Vamos lembrar como s˜o definidas as fun¸˜es seno e cosseno para um arco θ a co no primeiro quadrante do c´ ırculo trigonom´trico. Considere C a circunferˆncia e e x2 + y 2 = 1, indique por O o ponto de coordenadas (1, 0) e fixe um ponto P de C no primeiro quadrante. O arco OP ´ o n´mero θ = inf{ (Γ) : Γ ´ uma poligonal e u e ligando O ao ponto P e localizada no exterior do c´ ırculo C}. Aqui (Γ) indica o comprimento da poligonal Γ. Assim, a cada ponto P sobre C, associamos um n´mero real θ que ´ uma parametriza¸˜o de P que tamb´m ´ conhecida como u e ca e e coordenada circular deste ponto.
Agora considere o triˆngulo retˆngulo OQP , onde O ´ a origem do plano e a a e Q ´ a proje¸˜o do ponto P sobre o segmento OO. Desta forma definimos sen θ e ca pelo comprimento do segmento QP e cos θ ´ o comprimento do segmento OQ. e Como OP ´ o hipotenusa de OQP e tem comprimento 1, segue a identidade e fundamental da trigonometria: cos2 θ+sen2 θ = 1.
Tamb´m observe que qualquer poligonal Γ ligando O ` P possui comprimento e a maior que o do segmento QP que ´ a distˆncia do ponto P ` reta das abcissas, e a a ou seja, sen θ ≤ (Γ). Da defini¸˜o de θ temos: ca sen θ ≤ θ.
Uma outra desigualdade importante ´ a seguinte: e θ≤

sen θ
= tg θ. cos θ

Esta desigualdade pode ser verificada assim: considere o triˆngulo retˆngulo a a
OOT equivalente ao triˆngulo OQP e T ´ um ponto sobre a reta passando por a e
O e P . Por equivalˆncia de triˆngulos, temos que o comprimento do segmento e a
OT ´ dado por tg θ. Considere agora o triˆngulo P RT , retˆngulo no ponto P
e