Tratamento algebrico

´ VETORES - TRATAMENTO ALGEBRICO − − a Sejam dois vetores, → e →, n˜o-paralelos. Ent˜o, para cada vetor v, exite uma s´ dupla de n´meros reais v1 v2 a o u →+a →. − − a1 e a2 tais que v = a1 v1 2 v2 Neste caso, dizemos que: − − v ´ combina¸˜o linear de → e → e ca v1 v2 e − − e B = {→, →} ´ base v1 v2 Nota¸ao: v = (a1 , a2 )B ou vB = (a1 , a2 ) c˜ − − e Uma base {→, →} ´ ortonormal se e1 e2 → ⊥ → (ortogonais) − e1 − e2 e − − |→| = |→| = 1 (unit´rios) e1 e2 a onde i = (1, 0) e j = (0, 1).

Base canˆnica ´ a base C = i, j o e v = xi + y j v = (x, y) (express˜o anal´ a ıtica)

Defini¸˜o (alg´brica de vetor): Vetor no plano ´ um par ordenado (x, y) de n´meros reais. ca e e u − Igualdade de vetores: Sejam dois vetores u = (x1 , y1 ) e → = (x2 , y2 ). Ent˜o u = v ⇔ x1 = x2 e y1 = y2 . v a Exemplo 1 Sejam u = (x + 1, 4) e v = (5, 2y − 6). Ent˜o u = v se, e somente se, a x+1=5⇒x=4 2y − 6 = 4 ⇒ y = 5

− Opera¸˜es com vetores: Sejam os vetores u = (x1 , y1 ) e → = (x2 , y2 ) e α ∈ R. Ent˜o: co v a 1) u ± v = (x1 , y1 ) ± (x2 , y2 ) = (x1 ± x2 , y1 ± +y2 ) 2) αu = α (x1 , y1 ) = (αx1 , αy1 ) Propriedades: Para quaisquer vetores u, v e w e escalares α e β, tem-se: u+v =v+u u+0=u (u + v) + w = u + (v + w) u + (−u) = 0 α (βv) = (αβ) v α (u + v) = αu + αv (α + β) v = αv + βv 1v = v

Exemplo 2 Se u = (2, −3), v = (−1, 4) e w = (1, 0) ent˜o a 2u + v − 3w = 2 (2, −3) + (−1, 4) − 3 (1, 0) = (4, −6) + (−1, 4) − (3, 0) = (4 − 1 − 3, −6 + 4 − 0) = (0, −2) 1 Exemplo 3 Sendo u = (3, −1) e v = (−2, 4), determinar o vetor x tal que 3x + 2u + v + x. 2 1 3x + 2u = v + x ⇒ 6x + 4u = v + 2x ⇒ 6x − 2x = v − 4u ⇒ 4x = v − 4u 2 1 1 1 ⇒ x = (v − 4u) ⇒ x = v − u ⇒ x = (−2, 4) − (3, −1) 4 4 4 1 1 7 ⇒ x = − , 1 − (3, −1) ⇒ x = − − 3, 1 + 1 ⇒ x = − , 2 2 2 2

− − − − Exemplo 4 Sendo v = (10, 2), → = (3, 5) e → = (−1, 2), encontrar a1 , a2 ∈ R tais que v = a1 → + a2 →. v1 v2 v1 v2 → + a → ⇒ (10, 2) = a (3, 5) + a (−1, 2) − − v = a1 v1 2 v2 1 2 ⇒ (10, 2) = (3a1 , 5a1 ) + (−a2 , 2a2 ) = (3a1 − a2