Trabalho sobre integrais

ATIVIDADES PRÁTICAS SUPERVISIONADAS

CIÊNCIA DA COMPUTAÇÃO

MATEMÁTICA APLICADA III

Etapa 1- Passo 1

Analisemos a representação gráfica da função y = f(x) no plano cartesiano.

Pede-se para calcular o comprimento da curva que vai de A até B. É informado que tal comprimento pode ser calculado por meio da fórmula: A proposta é provar, matematicamente, a veracidade da fórmula. Sigamos o raciocínio que se apresenta abaixo.
Podemos ver que, se esticássemos a linha, o problema estaria resolvido. Mas, há outra maneira para se calcularmos esta área.

Fazemos pequenas variações no valor de x. Poderemos perceber que as pequenas curvas serão menos acentuadas. Diminuindo a variação de x cada vez mais, com o intervalo x tendendo a 0, chegaremos a um ponto em que os pequenos segmentos da curva se aproximarão cada vez mais de segmentos de reta.

Em cada um desses pequenos pedaços, podemos traçar 2 linhas que formarão um triângulo retângulo. O valor da hipotenusa será o valor aproximado do “pedacinho” da curva.

Hipotenusa essa que poderá ser calculada como:

c= a2+b2
Chamando o valor de c de L, e sabendo que a e b são, de acordo com o gráfico, x e y, temos que o comprimento de cada “pedacinho” L será:

L= ∆x2+∆y2
Ora, a princípio tivemos a definição de que y= f(x), logo a nossa fórmula pode ser substituída por:

L= ∆x2+∆f(x)2

O comprimento total da curva será a soma de todos esses pequenos intervalos, cuja variação em x e em f(x) tende a 0, e o número de intervalos, tende ao infinito. Assim sendo, calculamos somatória deles, definida por: lim∆x→0i∞∆x2+fxi2 Trabalhando o termo da somatória e considerando f(x) = y, colocaremos ∆x2 em evidência; assim:
∆x2+fxi2=∆x2.1+ ∆y2∆x2 (i)
Como se trata de multiplicação, podemos extrair a raiz de ∆x2, que será multiplicada pelo restante da equação. Dessa forma, temos: (i) = ∆x2. 1+∆y∆x2

Aplicando novamente à somatória, temos:

lim∆x→0i∞1+ ∆y2∆x2 . ∆x
Aplicando essa fórmula como uma integral