Trabalho de matemática

Ef´lio B o Relat´rio o I. Resolva em R as seguintes inequa¸˜es, e para cada uma das al´ co ıneas escolha (se poss´ ıvel) um ponto do conjunto solu¸˜o e verifique que esse ponto satisfaz a inequa¸˜o: ca ca
a. |1 + x| < |x − 1|.
b. |2 − 5x| < x − 3.

a. Interpretando esta inequa¸ao geometricamente, as solu¸oes desta inequa¸ao corresc˜ c˜ c˜ pondem ao conjunto de pontos cuja distˆncia ao ponto −1 ´ menor que a distˆncia ao ponto a e a 1. Como o ponto m´dio destes dois pontos ´ o ponto zero, o conjunto que se pretende e e corresponde aos pontos a esquerda do ponto m´dio.
`
e
Resolvendo analiticamente, temos.
|1 + x| < |x − 1| ⇐⇒
⇐⇒
⇐⇒
⇐⇒
⇐⇒

|1 + x|2 < |x − 1|2
(1 + x)2 < (x − 1)2 x2 + 2x + 1 < x2 − 2x + 1
4x < 0 x ∈] − ∞, 0[,

e portanto o conjunto solu¸ao ´ S =] − ∞, 0[; um ponto deste conjunto ´, por exemplo, c˜ e e x = −5.
Para este valor de x tem-se |1 − 5| = | − 4| = 4 e | − 5 − 1| = | − 6| = 6 que verifica 4 < 6, ou seja o ponto x = −5 satisfaz a inequa¸ao |1 + x| < |x − 1|. c˜ b. Para esta inequa¸˜o tem-se ca |2 − 5x| < x − 3 ⇐⇒
⇐⇒
⇐⇒
⇐⇒
⇐⇒

−(x − 3) < 2 − 5x < x − 3
−x + 3 < 2 − 5x < x − 3
−x + 3 < 2 − 5x e 2 − 5x < x − 3
4x < −1 e 5 < 6x x < −1/4 e 5/6 < x
5
1
⇐⇒ x ∈] − ∞, − [ ∩ ] , +∞[= ∅,
4
6

RS, UAb

-1-

e portanto o conjunto solu¸ao ´ S = ∅. c˜ e

II.
Dada a fun¸˜o f : R3 → R definida por f (u, v, w) = ca π + cos(u + v + w)
,
u+v

a. determine o dom´ ınio de f .
b. Calcule as derivadas parciais de 1ª ordem de f .
c. Calcule o gradiente de f no ponto (1, 1, 0).

a. O numerador da fun¸ao f est´ bem definido para todo o (u, v, w) em R3 , nunca se c˜ a anula pois π + cos(u + v + w) > 2 para todo o (u, v, w) em R3 , e portanto o dom´ ınio de f
3
corresponde aos pontos de R para os quais o denominador n˜o se anula: a Df = {(u, v, w) ∈ R3 : u+v = 0} = {(u, v, w) ∈ R3 : v = −u} = R3 \{(u, −u, w) : u ∈ R, w ∈ R}.
b. Antes de calcularmos as derivadas parciais de 1ª