Trabalho branqueamento

Sistemas de Equações Lineares

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Sistemas de Equações Lineares
Definição
Um sistema de equações lineares pode ser definido como um conjunto de n equações com n variáveis independentes entre si, na forma genérica, como: a11x1 + a12x2 + a13x3 + ... + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + a23x3 + ... + a2nxn = b2 a31x1 + a32x2 + a33x3 + ... + a3nxn = b3 an1x1 + an2x2 + an3x3 + ... + annxn = bn na qual aij (i, j = 1, 2, 3, ..., n) são os coeficientes do sistema de equações, xi (i = 1, 2, 3, ..., n) são as n incógnitas e bi (i = 1, 2, 3, ..., n) os termos independentes.
¢ ¢ ¡ £

(1)

Formulação Matricial
As equações representadas em (1) podem ser descritas na forma matricial como: [A][x] = [b] para o qual:
£

(2)

a n3

Nesta representação, a solução direta pode ser obtida fazendo-se: [x] = [A]-1[b] (4)

para a qual emprega-se os métodos de inversão de matrizes utilizados em cursos de Álgebra Linear. O cálculo da matriz inversa pode ser feito através da propriedade da matriz identidade: [I] = [A]-1[A] (5)

Se os coeficientes da matriz inversa [A]-1 são as incógnitas do problema, então o cálculo desses coeficientes resume-se a encontrar a solução do seguinte sistema de equações:
Cálculo Numérico e Computacional C.Y. Shigue

¤

¤

¤

£ £ ¥

¤

 a11 a12 a  21 a 22 [A] = a 31 a 32   a n1 a n 2 
¤ ¤

a13 a 23 a 33

a1n   x1   b1   x  b  a 2n   2  2  , [x ] =  x 3  , [b] =  b 3  a 3n            x n  b n  a nn     

(3)

Sistemas de Equações Lineares

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Assim, o problema do cálculo de sistemas de equações lineares através do produto da matriz inversa resulta num problema de cálculo de sistemas de equações lineares. À seguir, apresentaremos um método direto para a solução de sistemas de equações lineares denominado método de eliminação gaussiana e outro método, iterativo, chamado método de Gauss-Seidel. Além desses métodos, inúmeros outros apropriados para cada tipo de sistema de