Trab_MAT

2 Lista de Exerccios Matrizes Operaes e Propriedades 2 EXERCCIOS RESOLVIDOS 1. Dadas 1-32141021-1- 2A21-3B2111C3-2-1-14-3-11-2122-5-10 Mostre que AB AC. AB-3-301AC-3-3011150-51150-5-3150-5-3150-5 2. Explique por que, em geral, EMBED Equation.3 e EMBED Equation.3 Soluo. No caso das matrizes, j vimos que nem sempre h comutatividade na operao de multiplicao. No podemos confundir a operao de multiplicao nos nmeros reais, onde ab ba. E no caso dos produtos notveis, temos (ab)2 (ab).(ab) (a2 ab ba b2) e nesse caso ab ba 2ab. Na multiplicao de matrizes, A.B e B.A pode no ser 2AB, o mesmo acontecendo no caso da diferena de quadrados ab ba 0 (reais), mas AB BA pode no ser zero. 3. Dadas 2-3-5-1352-2-4A-145B1-3-5C-1341-3-4-1351-2-3 a) Mostre que AB BA 0, AC A e CA C. AB000BA 0 00AC 2-3-5CA2-2-4000 0 00 -145-134000 0 00 1-3-41-2-3 b) Use os resultados de (a) para mostrar que ACB CBA, A2 B2 (AB) (AB) e (A B)2 A2 B2. Soluo. i) Observamos que ACB AB (pois ACA) e AB0. Da mesma forma CBACABAB0. ii) Como AB BA, podemos cancel-los em A2 AB BA B2 A2 B2. iii) (A B)2 A2 2AB B2. Como AB BA 0, (A B)2 A2 B2. 4. Se , ache B tal que B2 A. Soluo. A matriz B da forma BabB2 abxaba2 bcab bdcdcdcdac cdbc d2 Igualando os termos com a matriz A, temos a2 bc 3 () bc d2 3. Logo a2 d2 e a d. Observamos ainda que ab bd -2 Substituindo a d, temos 2bd -2 ou bd -1 implicando que b (-1/d) ac cd -4 Substituindo a d, temos 2cd -4ou cd -2 implicando que c 2b. Substituindo em (), temos d2 b(2b) 3 ou d2 2b2 3 ou ainda, d2 2(1/d2) 3. Multiplicando todos os termos por d2, temos d4 2 3d2. Substituindo o termo d2 y, temos a soluo de uma equao biquadrada. y2 3y 2 0, onde pela fatorao temos y 1 ou y 2. Ou seja, d EMBED Equation.3 ou d 1. Possveis matrizes i) Se d EMBED Equation.3 , a EMBED Equation.3 , b -1/ EMBED Equation.3 e c -2/ EMBED Equation.3 B EMBED Equation.3