Teoria dos conjuntos

Teoria dos Conjuntos
Antonio Alfredo Ferreira Loureiro [e-mail] http://www.dcc.ufmg.br/~loureiro

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Teoria dos Conjuntos

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Introdução
• O que os seguintes objetos têm em comum? – um grupo de pessoas – um rebanho de animais – um buquê de flores – uma dúzia de ovos • Conjunto: coleção de objetos bem definidos, denominados elementos ou membros do conjunto. – As palavras “conjunto” e “elementos” são termos indefinidos da teoria dos conjuntos. • Teoria dos conjuntos: base do pensamento matemático. – Todos objetos matemáticos podem ser definidos em termos de conjuntos.

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Introdução
• Notação: Seja S um conjunto e a um elemento de S. – a ∈ S: a pertence a S – a ∈ S: a não pertence a S • Axioma da extensão: – Um conjunto é completamente determinado pelos seus elementos. – A ordem na qual os elementos são listados é irrelevante. – Elementos podem aparecer mais de uma vez no conjunto.

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Formas de definir um conjunto
• Listar seus elementos entre chaves: – {Ana, Roberto, Carlos} – {Roberto, Carlos, Ana} – {Roberto, Roberto, Ana, Carlos, Ana} • Especificar uma propriedade que define um conjunto como S = {x|P (x)}: – {x ∈ Z| − 2 < x < 5} – {x ∈ R| − 2 < x < 5} § P (x) não pode ser uma propriedade qualquer. Exemplo: S = {A|A é um conjunto e A ∈ A}; S ∈ S? [Paradoxo de Russel] • Usar uma definição recursiva: 1∈A – se x ∈ A e x + 2 < 10, então x + 2 ∈ A

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Formas de definir um conjunto
• Usar operações sobre conjuntos para criar novos conjuntos: – S = {1, 3, 5, 7, 9} ∪ P • Especificar uma função característica: k para x = 1, 3, 5, 7, 9 – µA(x) = 0 caso contrário § Nem sempre é possível utilizar todos os tipos de definição: Exemplo: S = {x ∈ R|0 ≤ x ≤ 1} Não é possível definir S listando os elementos.

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