Taylor

Série de Taylor:

A série de Taylor é uma forma de aproximar funções através de um polinômio. Isso tem duas grandes utilidades: calcular funções mais complexas como coseno e exponencial, utilizando apenas somas e multiplicações. A segunda é dar uma base para simplificar funções a partir de suas primeiras derivadas.
O conceito básico da série de Taylor é criar um polinômio que em um dado ponto tenha todas as derivadas iguais a da função que ele aproxima.
Série de Taylor de função de uma variável seja o desenvolvimento da função na série de potências

Equação [ 1 ]
Para determinar os coeficientes da [ Equação 1 ] necessitamos das derivadas que são dadas por

Equações [ 2 ]
Fazendo nas [ Equação 1 ] e [ Equações 2 ] e admitindo a existência das derivadas no ponto , resulta para os coeficientes

Em vista destes resultados, a série da [ Equação 1 ] pode ser escrita na forma

Equação [ 3 ] onde é o mesmo que .
A [ Equação 3 ] constitui a séria de Taylor de na vizinhança de . Quando , a séria recebe o nome de séria de Maclaurin.

O emprego da série está, evidentemente limitado para os casos em que esta é convergente. Pela teoria de das séries de potências, a série de Taylor é convergente para valores de que satisfazem a

onde o raio de convergência, é dado por

Fazendo , resulta a partir da [ Equação 3 ]

Equação [ 4 ] que constitui a forma da séria de Taylor freqüentemente empregada em Cálculo Numérico.

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[ 2 ]. . A série pode ser também convergente para , sendo sempre divergente para