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Limites

O Cálculo Diferencial e Integral I estabelece um conjunto de operações que envolvem quatro tipos de operações: limite, diferencial, derivada, e integral. O limite é uma operação matemática que tem o objetivo de encontrar o valor de uma função ou a expressão que represente o comportamento de um fenômeno em situações matemática ou fisicamente inalcançáveis. Veja como entender limite:
O lim un = u (finito, +∞ ou -∞) apenas se:

∀ε > 0, ∃ n ε = n > n ε ⇒ un ∈ Vε (u).

Consoante u seja ele,+ infinito ou - infinito, a condição un ∈ Vε (u) pode-se escrever:
|un – u| < ε, un > 1/ε ou un < - 1/ε.
As sucessões com limite finito se dizem convergentes e quando estão para zero são infinitamente pequenos sendo assim chamados de infinitésimos. Desta forma, é possível concluir que un converge para o real u se e somente se a sucessão vn = un – u é um infinitésimo.
Então é possível afirmar que: lim un = u (finito) ⇒ lim |un| = |u| ; esta incompatibilidade resulta de imediato do fato de ser:
|un| - |u| | ≤ |un - u|, desigualdade sobre módulos. No entanto, percebe-se que pode existir lim | un | sem que exista lim un. Porém, tem-se que lim un = 0 equivale a lim| un | = 0.

O seja os limites finitos sempre vão tender a um número real e podem variar, aproximando-se alternadamente por cima () ou por baixo (). Já os limites infinitos estarão aproximando-se do infinito.
Veja as diferenças graficamente:

LIMITE FINITO ;

LIMITE INFINITO

Exemplos: * Limite finito limx→3x2-x-62x-6 Resolução: limx→9x-3(x+2)2(x-3) ⇒ limx→9x+22 ⇒ lim (9+2)2 ⇒ lim =112

limx→3x-3(x+2)2(x-3) ⇒ limx→3x+22 ⇒ lim (3+2)2 ⇒ lim =52

limx→0x-3(x+2)2(x-3) ⇒ limx→0x+22 ⇒ lim (0+2)2 ⇒ lim 22 ⇒ lim =1

limx→-3x-3(x+2)2(x-3) ⇒ limx→-3x+22 ⇒ lim (-3+2)2 ⇒ lim =-12

limx→-9x-3(x+2)2(x-3) ⇒ limx→-9x+22 ⇒ lim (-9+2)2 ⇒ lim =-72 X | F(x) | 9 | 11/2 |