Tabela5

´tica - Universidade de Coimbra
Departamento de Matema
TEOREMA (Segundo Crit´ erio de Compara¸ c˜ ao)

An´ alise Matem´ atica I (Semestral)

+∞

+∞

Sejam

Licenciatura em Engenharia Inform´ atica 1o Semestre

TABELA 5

an e n=1 n=1

bn duas s´eries num´ericas com an ≥ 0, para todo n ∈ IN, e bn > 0, para

todo n ∈ IN. Seja λ = lim

n→+∞

an
(que supomos existir ou λ = +∞). Ent˜ao, bn +∞

(i) se λ ∈]0, +∞[, as s´eries

S´ eries num´ ericas de termos n˜ ao-negativos Embora os pr´oximos crit´erios n˜ao nos permitam determinar a soma de uma dada s´erie, eles s˜ao u
´ teis para determinar a natureza de uma s´erie dada.

ambas divergentes);

+∞

an e n=1 bn s˜ao da mesma natureza (ambas convergentes ou n=1 (ii) se λ = 0 e
+∞

(a) se a s´erie n=1 TEOREMA (Crit´ erio do Integral)

+∞

+∞

an ´e convergente se, e s´o se, o integral impr´oprio

f (x) dx for convergente.

1

n=1

(b) se a s´erie

+∞

an for divergente, ent˜ao a s´erie n=1 bn tamb´em ´e divergente; n=1 (iii) se λ = +∞ e
+∞

(a) se a s´erie

+∞

an for convergente, ent˜ao a s´erie n=1 Por outras palavras, f (x) dx for convergente, ent˜ao a s´erie

1

an ´e convergente;

+∞

bn for divergente, ent˜ao a s´erie n=1 an tamb´em ´e divergente; n=1 n=1
+∞

(ii) se o integral impr´oprio

(b) se a s´erie

+∞

bn tamb´em ´e convergente; n=1 +∞
+∞

(i) se o integral impr´oprio

+∞

f (x) dx for divergente, ent˜ao a s´erie

1

an ´e divergente. n=1 S´ eries absolutamente convergentes e s´ eries condicionalmente (ou simplesmente) convergentes

˜
OBSERVAC
¸ AO
No crit´erio do integral n˜ao ´e necess´ario que f esteja definida em [1, +∞[, assim como n˜ao ´e necess´ario que a s´erie comece em n = 1.
Podemos considerar uma fun¸c˜ao f cont´ınua, positiva e decrescente em [p, +∞[, com p ∈ IN, an = f (n), n ≥ p. Ent˜ao
+∞

a s´erie

an tamb´em ´e convergente; n=1 +∞

Seja f uma fun¸c˜ao cont´ınua, positiva e decrescente em [1, +∞[ e seja an = f (n), n ∈ IN.
Ent˜ao
a s´erie

+∞

bn for convergente, ent˜ao a s´erie

+∞