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Funções de crescimento

Professor: Jorge Humberto

Introdução: Nós com este trabalho pretendemos ficar a perceber mais sobre: “Função exponencial de base superior a um”; “Função logarítmica de base a. Logaritmo de um número”; “Resolução de equações e inequações no contexto de resolução de problemas”; “Função logística”; “Resolução de problemas aplicando um dos três modelos contínuos estudados”.

Teoria 1. Definição de função exponencial:

Chama-se função exponencial de base a à correspondência f: lR lR+ x ax , com a > 0 Nota que, a expressão analítica da função é uma potência, com a particularidade de ter base fixa e expoente variável.
Se a = 1, a função é constante e tem pouco interesse. Vejamos agora, quando 0 < a < 1 e a > 1

Função exponencial
0 < a < 1 f: lR lR x ax

● Domínio = lR ● Contradomínio = lR+ ● f é injectiva ● f(x) > 0 , ⍱ x Є lR ● f é continua e diferenciável em lR ● A função é estritamente decrescente. ● limx→ -∞ ax = + ∞ ● limx→ +∞ ax = 0 ● y = 0 é assimptota horizontal

Função exponencial a > 1 f: lR lR x ax

● Domínio = lR ● Contradomínio = lR+ ● f é injectiva ● f(x) > 0 , ⍱ x Є lR ● f é continua e diferenciável em lR ● A função é estritamente crescente. ● limx→ +∞ ax = + ∞ ● limx→ -∞ ax = 0 ● y = 0 é assimptota horizontal

Teoria 2. Propriedades das funções exponenciais:

Se considerarmos a base a tal que 0 < a < 1, o gráfico da função é do tipo:

A análise do gráfico ajuda-nos a aceitar que esta função:
1 - Tem como domínio o conjunto dos números reais;
2 - Tem como contradomínio o conjunto dos números reais positivos;
3 - É injectiva, ou seja " x, y Î D : x ¹ y Þ f(x) ¹ f(y);
4 - É contínua e diferenciável no seu domínio;
5 - É estritamente decrescente, ou seja " x, y Î D : x < y Þ f(x) > f(y);
6 - É